Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Permutationsgruppen/Textabschnitt/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Permutationsgruppen}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Aut} \, (M)
}
{ =} { \operatorname{Perm} \,( M)
}
{ =} { { \left\{ \varphi:M \longrightarrow M \mid \varphi \text{ bijektiv} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der bijektiven Selbstabbildungen die \definitionswort {Automorphismengruppe}{} oder die \definitionswort {Permutationsgruppe}{} zu $M$.
}
Eine bijektive Selbstabbildung
\maabb {\varphi} {M} {M
} {}
nennt man auch eine \stichwort {Permutation} {.} Für eine endliche Menge
\mathl{I=\{1 , \ldots , n\}}{} schreibt man
\mathl{S_n=\operatorname{Perm} \,(I)}{.} Eine endliche Permutation kann man beispielsweise mit einer
\zusatzklammer {vollständigen} {} {}
Wertetabelle oder mit einem Pfeildiagramm beschreiben.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Composicion_de_permutaciones.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Composicion de permutaciones.svg } {} {Drini} {Commons} {CC-by-SA 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $M$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen.}
\faktfolgerung {Dann besitzt die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Perm} \,( M)
}
{ \cong }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau $n!$ Elemente.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die $1$ gibt es $n$ mögliche Bilder, für $2$ gibt es noch
\mathl{n-1}{} mögliche Bilder, für $3$ gibt es noch
\mathl{n-2}{} mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1
}
{ =} { n !
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mögliche Permutationen.
\inputfaktbeweis
{Menge und Teilmenge/Permutation/Untergruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $M$ eine Menge und $N \subseteq M$ eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche injektive Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Perm} \, (N) } { \operatorname{Perm} \, (M) } { \sigma} { \tilde{ \sigma} } {,}
wobei $\tilde{\sigma}$ auf $N$ gleich $\sigma$ und auf
\mathl{M \setminus N}{} die Identität ist.}
\faktzusatz {Mittels dieser Abbildung ist $\operatorname{Perm} \, (N)$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\operatorname{Perm} \, (M)$.}
\faktzusatz {}
}
{
Offenbar ist die Abbildung wohldefiniert. Sie ist injektiv, da aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\sigma}
}
{ = }{ \tilde{\tau}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sofort folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ = }{ \tau
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Abbildung liefert eine Bijektion zwischen $\operatorname{Perm} \, (N)$ und der Menge der Permutationen auf $M$, die
\mathl{M \setminus N}{} fest lassen. Diese Permutationen bilden eine Untergruppe.
\zwischenueberschrift{Zykeldarstellung für Permutationen}
Sei $M$ eine endliche Menge,
\mathl{\sigma \in \operatorname{Perm} \,(M)}{} eine Permutation und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann kann man die Folge
\mathdisp {\sigma^0(x)=\operatorname{id} \, (x)=x,\, \sigma^1(x)= \sigma(x),\, \sigma^2(x), \, \sigma^3(x) \ldots ,} { }
betrachten. Da $M$ endlich ist, gibt es eine Wiederholung \mathkon { \sigma^{i} (x) = \sigma^{j} (x) } { mit } { i <j }{ .} Durch Multiplikation mit
\mathl{\sigma^{-i}}{} sieht man, dass es ein minimales
\mathl{k\in \N_+}{} gibt mit
\mathl{\sigma^k (x) = \sigma^0(x)=x}{,} und dass alle
\mathl{\sigma^{j}(x)}{} für
\mathbed {j} {}
{1 \leq j <k} {}
{} {} {} {,} verschieden sind. Ist
\mathl{y= \sigma^j(x)}{,} so durchläuft auch
\mathl{\sigma^{i} (y)}{} dieselbe Teilmenge aus $M$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Man nennt $\pi$ einen \definitionswort {Zykel der Ordnung}{} $r$, wenn es eine $r$-elementige Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $\pi$ auf
\mathl{M \setminus Z}{} die Identität ist und $\pi$ die Elemente aus $Z$ zyklisch vertauscht. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ \{z, \pi(z),\, \pi^2(z) , \ldots , \pi^{r-1}(z)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so schreibt man einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ =} { \langle z, \pi(z),\, \pi^2(z) , \ldots , \pi^{r-1}(z) \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Dabei kann man statt $z$ jedes andere Element aus $Z$ als Anfangsglied nehmen. Die Menge $Z$ heißt auch der \stichwort {Wirkungsbereich} {} des Zykels, und die (geordnete) Auflistung heißt die \stichwort {Wirkungsfolge} {} des Zykels.
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionswort {Transposition}{} auf einer endlichen Menge $M$ ist eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
}
Eine Transposition ist also ein besonders einfacher Zykel mit der Zyklendarstellung
\mathl{\langle x, y \rangle}{,} wenn die Transposition die Punkte \mathkon { x } { und } { y }{ } vertauscht.
\inputfaktbeweis
{Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jede
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf einer endlichen Menge $M$}
\faktfolgerung {kann man als Produkt von
\definitionsverweis {Transpositionen}{}{}
schreiben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge $M$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \# \left( M \right) }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nichts zu zeigen, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \# \left( M \right) }
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Es sei also $\pi$ nicht die Identität, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(x)
}
{ = }{ y
}
{ \neq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $\tau$ die Transposition, die $x$ und $y$ vertauscht. Dann ist $y$ ein
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
von $\pi \tau$, und man kann $\pi \tau$ auffassen als eine Permutation auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M'
}
{ = }{M \setminus \{y\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen $\tau_j$ auf $M'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi \tau
}
{ = }{ \prod_j \tau_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $M'$. Dies gilt dann auch auf $M$, und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ = }{ { \left( \prod_j \tau_j \right) } \tau
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $M$ eine endliche Menge und $\sigma$ eine Permutation auf $M$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ =} { \sigma_1 \cdots \sigma_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $\sigma_i$
\definitionsverweis {Zykel}{}{}
der Ordnung $\geq 2$ sind mit disjunkten Wirkungsbereichen.}
\faktzusatz {Dabei ist die Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $F$ die Fixpunktmenge von $\sigma$ und es seien
\mathl{Z_1 , \ldots , Z_k}{} diejenigen Teilmengen von $M$ mit mindestens zwei Elementen derart, dass $\sigma$ die Elemente aus jedem $Z_i$ zyklisch vertauscht. Dann ist $M$ die disjunkte Vereinigung aus $F$ und den $Z_i$. Zu
\mathbed {i} {}
{1 \leq i \leq k} {}
{} {} {} {,} sei $\sigma_i$ der
\definitionsverweis {Zykel}{}{}
auf $M$, der auf
\mathl{M \setminus Z_i}{} die Identität ist und auf $Z_i$ mit $\sigma$ übereinstimmt. Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ =} { \sigma_1 \cdots \sigma_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um dies einzusehen, sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $x$ ein Fixpunkt für alle $\sigma_i$ und daher kommt links und rechts wieder $x$ raus. Es sei also $x$ kein Fixpunkt der Permutation. Dann gehört
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ Z_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für genau ein $i$. Für alle
\mathl{j \neq i}{} ist $x$ ein Fixpunkt von $\sigma_j$. Da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { \sigma(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls zu $Z_i$ gehört, ist auch $y$ ein Fixpunkt von $\sigma_j$ für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \neq }{ i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wendet man daher die rechte Seite auf $x$ an, so wird $x$ auf $x$ abgebildet bis man zu $\sigma_i$ kommt. Dieses bildet $x$ auf $y$ ab und die folgenden $\sigma_j$ bilden $y$ auf $y$ ab, sodass die rechte Seite insgesamt $x$ auf $y$ schickt und daher mit $\sigma$ übereinstimmt.
Aufgrund von diesem Satz können wir allgemein eine Zyklendarstellung für eine beliebige Permutation definieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und $\sigma$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Es seien
\mathl{Z_1 , \ldots , Z_k}{} die Wirkungsbereiche der
\definitionsverweis {Zyklen}{}{}
von $\sigma$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_i
}
{ = }{ { \# \left( Z_i \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_i
}
{ \in }{Z_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z_i
}
{ = }{\{x_i, \sigma(x_i) , \ldots , \sigma^{n_i-1}(x_i)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann nennt man
\mathdisp {\langle x_1, \sigma(x_1) , \ldots , \sigma^{n_1-1}(x_1) \rangle \langle x_2, \sigma(x_2) , \ldots , \sigma^{n_2-1}(x_2) \rangle \cdots \langle x_k, \sigma(x_k) , \ldots , \sigma^{n_k-1}(x_k) \rangle} { }
die \definitionswort {Zyklendarstellung}{} von $\sigma$.
}
\zwischenueberschrift{Das Signum einer Permutation}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Dann heißt die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ \pi( j ) - \pi( i )}{ j - i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Signum}{}
\zusatzklammer {oder das \definitionswort {Vorzeichen}{}} {} {}
der Permutation $\pi$.
}
Das Signum ist
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {,}
da im Zähler und im Nenner die positive oder die negative Differenz
\mathl{\pm ( i-j)}{} steht. Es gibt für das Signum also nur zwei mögliche Werte. Bei
\mathl{\operatorname{sgn}(\sigma)=1}{} spricht man von einer
\definitionswortenp{geraden Permutation}{} und bei
\mathl{\operatorname{sgn}(\sigma)=-1}{} von einer
\definitionswortenp{ungeraden Permutation}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Dann heißt ein Indexpaar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ <} {j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {Fehlstand}{} von $\pi$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi (i)
}
{ > }{ \pi (j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{ { \# \left( F \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Anzahl der
\definitionsverweis {Fehlstände}{}{}
von $\pi$.}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
von $\pi$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { (-1)^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ \pi( j ) - \pi( i )}{ j - i }
}
{ =} { \prod_{(i,j) \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i } \prod_{(i,j) \not \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i }
}
{ =} { (-1)^k \prod_{(i,j) \in F} \frac{ \pi (i) - \pi (j) }{ j-i } \prod_{(i,j) \not \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i }
}
{ =} { (-1)^k
}
}
{}
{}{,}
da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Permutation
\wertetabellesechsausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{ {6
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {4} {6} {5} {3} }
{ {1} }
mit der Zyklendarstellung
\mathdisp {\langle 1 , 2, 4, 5, 3, 6 \rangle} { . }
Die Fehlstände sind
\mathdisp {(1,6), \, (2,5), \, (2,6),\, (3,4),\, (3,5),\, (3,6),\, (4,5),\, (4,6),\, (5,6)} { , }
es gibt also $9$ Stück davon. Das Signum ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1)^9
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß
Fakt *****,
und die Permutation ist ungerade.
}
\inputfaktbeweis
{Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die durch das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
gegebene Zuordnung
\maabbeledisp {} {S_n} {\{1,-1\}
} {\pi} {\operatorname{sgn}(\pi)
} {,}
ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien zwei Permutationen
\mathkor {} {\pi} {und} {\rho} {}
gegeben. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{sgn}( \pi \circ \rho )
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ ( \pi \circ \rho) ( j ) - ( \pi \circ \rho) ( i )}{ j - i }
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j } \frac{ ( \pi \circ \rho )(j)
- ( \pi \circ \rho )(i) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } \prod_{ i < j } \frac{ \rho( j ) - \rho( i )}{ j - i }
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) < \rho(j) } \frac{ \pi( \rho (j)) - \pi( \rho (i)) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) > \rho(j) } \frac{ \pi( \rho (j)) - \pi( \rho (i)) }{ \rho(j)- \rho (i) } \right) } \, \operatorname{sgn}(\rho )
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) < \rho(j)} \frac{ \pi( \rho (j)) - \pi( \rho (i)) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) > \rho(j) } \frac{ \pi( \rho (i)) - \pi( \rho (j)) }{ \rho (i)- \rho (j) } \right) } \, \operatorname{sgn}(\rho)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \prod_{ k < \ell } \frac{ \pi( \ell ) - \pi( k )}{ \ell - k } \operatorname{sgn}(\rho )
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi) \operatorname{sgn}(\rho)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ =} { \tau_1 \cdots \tau_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Produkt von $r$
\definitionsverweis {Transpositionen}{}{}
geschrieben.}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} {(-1)^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Transposition $\tau$ vertausche die beiden Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{sgn}(\tau)
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ \tau( j ) - \tau( i )}{ j - i }
}
{ =} { \prod_{i<j,\, i,j \neq k, \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i=k , j \neq \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i \neq k , j= \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i=k , j = \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
}
{ =} { \prod_{ j > k,\, j \neq \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ i \neq k ,\, i < \ell } \frac{ k -i }{ \ell -i } \cdot { \frac{ k - \ell }{ \ell - k } }
}
{ =} { \prod_{j > \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ i < k } \frac{ k -i }{ \ell -i }
\cdot \prod_{ k <j < \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ k < i < \ell } \frac{ k -i }{ \ell -i } \cdot (-1)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass im ersten und im zweiten Produkt alle Zähler und Nenner positiv sind und dass im dritten und im vierten Produkt die Zähler negativ und die Nenner positiv sind, sodass sich diese
\zusatzklammer {wegen der gleichen Indexmenge} {} {}
Minuszeichen wegkürzen.
Die Aussage folgt dann aus der Homomorphieeigenschaft.