Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 26

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn alle Konjugationsklassen einelementig sind.


Aufgabe

Sei eine endliche Gruppe und seien konjugierte Elemente. Zeige, dass und die gleiche Ordnung besitzen.


Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen genau dann konjugiert sind, wenn ihre Zykeldarstellung den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.


Aufgabe

Überprüfe die Klassengleichung für die Permutationsgruppen .


Aufgabe

Überprüfe die Klassengleichung für die eigentliche Würfelgruppe.


Aufgabe

Bestimme zu jeder Permutation , , die Isotropiegruppe und die Konjugationsklasse , und bestätige die Gleichung

aus Lemma 26.3.


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl und eine endliche Gruppe mit Elementen. Zeige, dass auflösbar ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung , , das zeigt, dass zu einem Element die reellen Koordinaten und nicht zu gehören müssen.


Aufgabe

Es sei eine konstruierbare Zahl. Zeige, dass der erzeugte Unterkörper eine Radikalerweiterung von ist.


Aufgabe

Es sei eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom . Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von ebenfalls konstruierbar ist.


Aufgabe

Es sei eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom . Zeige, dass der Zerfällungskörper von eine Radikalerweiterung von ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine konstruierbare Zahl in einer auflösbaren Körpererweiterung liegt.


Aufgabe

Es sei eine Galoiserweiterung vom Grad mit einer Primzahl und . Zeige, dass es einen echten Zwischenkörper gibt, der über eine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe

Es sei eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen in . Zeige, dass es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen derart gibt, dass eine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe

Finde zur Kette aus quadratischen Körpererweiterungen

eine Galoiserweiterung minimalen Grades mit .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien endliche Körpererweiterungen. Es sei ein irreduzibles Polynom, dass über in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper enthalte keine Nullstelle von . Folgt daraus, dass irreduzibel über ist?


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Körpererweiterung in und es sei der Unterkörper, der aus allen konstruierbaren Zahlen in besteht. Zeige, dass für jeden Automorphismus die Beziehung gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien algebraische Zahlen.

a) Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom derart gibt, dass man alle als -Linearkombination von Potenzen der Nullstellen von schreiben kann.

b) Zeige, dass es kein irreduzibles Polynom derart geben muss, dass alle Nullstellen von sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei ein Element derart, dass , , eine -Basis von bildet. Wir betrachten das Polynom

Zeige, dass die Koeffizienten von zu gehören, dass in irreduzibel ist und dass der Zerfällungskörper von über ist.



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