Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 28/latex
\setcounter{section}{28}
In dieser Vorlesung standen endliche Körpererweiterungen der rationalen Zahlen $\Q$ im Mittelpunkt. Zum Abschluss werden wir Körper betrachten, die von den rationalen Zahlen aus nicht algebraisch erfasst werden können, sondern transzendente Elemente enthalten. Diese Eigenschaft haben zwar auch die reellen Zahlen, aber diese lassen sich von den rationalen Zahlen aus als Grenzwerte erfassen \zusatzklammer {was allerdings kein algebraisches Konzept ist} {} {.} Hier geht es um transzendente Elemente, die eher den Charakter von Funktionen oder einfach von Variablen haben. Es bestehen enge Beziehungen zur Invariantentheorie, Dimensionstheorie für kommutative Ringe, Funktionenkörper von algebraischen Varietäten.
\zwischenueberschrift{Algebraische Unabhängigkeit}
Wir haben schon öfters den Körper der rationalen Funktionen
\mathl{K(X)}{,} also den Quotientenkörper des Polynomringes in einer Variablen über einem Körper erwähnt. Dort gibt es das Phänomen, dass dieser Körper echte Unterkörper enthält, die zu diesem Körper selbst isomorph sind, und zwar als
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Beispielsweise ist der von $X^2$ erzeugte Unterkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K(X^2)
}
{ \subseteq }{K(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
selbst isomorph zu $K(Y)$
\zusatzklammer {und damit zu \mathlk{K(X)}{}} {} {.}
Der Grad der angegebenen Erweiterung ist $2$. In der Tat ist sogar für jedes Polynom
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \notin K} {}
{} {} {} {,}
der davon erzeugte Unterkörper isomorph zum Körper der rationalen Funktionen in einer Variablen. Wir fragen uns, wie zu Polynomen
\mathbed {P,Q \in K[X]} {}
{P,Q \notin K} {}
{} {} {} {,}
der erzeugte Unterkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K(P,Q)
}
{ \subseteq }{ K(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aussieht. Es wird sich herausstellen, dass hierbei stets eine algebraische Abhängigkeit zwischen diesen Polynomen besteht. Es gibt also zwar viele verschiedene, aber isomorphe, Unterkörper von $K(X)$, aber kein Unterkörper, der zum Quotientenkörper von
\mathl{K[X,Y]}{} isomorph wäre. Für solche Quotientenkörper führen wir eine eigene Bezeichnung ein.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein Körper. Den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Polynomringes}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} nennt man
\definitionswort {Körper der rationalen Funktionen in $n$ Variablen}{.}
Er wird mit
\mathl{K ( X_1 , \ldots , X_n)}{} bezeichnet.
} Die Elemente dieses Körpers sind rationale Funktionen in mehreren Variablen, also Quotienten aus Polynomen in mehreren Variablen \zusatzklammer {wie schon bei Polynomen muss man aber bei einem endlichen Grundkörper vorsichtig sein bei der Identifizierung zwischen Elementen dieses Körpers und Funktionen auf gewissen Punktmengen} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Die Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in A}{} heißen
\definitionswort {algebraisch unabhängig}{}
\zusatzklammer {über $R$} {} {,}
wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bei der Einsetzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(f_1 , \ldots , f_n )
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Ein einzelnes algebraisch unabhängiges Element ist einfach ein transzendentes Element. Von daher ist die Vorstellung, dass es sich bei einer algebraisch unabhängigen Familie um eine \anfuehrung{transzendente Familie}{} handelt, sinnvoll. Das Urbeispiel einer algebraisch unabhängigen Familie ist die Variablenfamilie in einem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n ]}{} bzw. im Körper der rationalen Funktionen
\mathl{K (X_1 , \ldots , X_n )}{.}
{Algebra/Algebraisch unabhängig/Charakterisierungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $A$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Elementfamilie.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} sind
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{.}
}{Der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R[X_1 , \ldots , X_n]} { A
} {X_i} { f_i
} {,}
ist
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
}{Der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R[X_1 , \ldots , X_n]} { R[f_1 , \ldots , f_n ]
} {X_i} { f_i
} {,}
ist
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 28.9. }
Eine algebraisch unabhängige Familie ist also dadurch gekennzeichnet, das der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
eine
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\maabbdisp {} {R[X_1 , \ldots , X_n]} { R[f_1 , \ldots , f_n] \subseteq A
} {}
definiert. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Körper ist, was wir zumeist annehmen werden, so führt dies auch zu einem
\definitionsverweis {Körperisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K(X_1 , \ldots , X_n) } { K[X_1 , \ldots , X_n]
} {.}
\zwischenueberschrift{Transzendenzbasen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein Grundkörper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Man sagt, dass
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in L}{} eine
\definitionswort {Transzendenzbasis}{}
von $L$ über $K$ ist, wenn die
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{}
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraische Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Zum Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n ]}{} über einem Körper $K$ in $n$ Variablen besitzt der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K(X_1 , \ldots , X_n)
}
{ =} { Q (K[X_1 , \ldots , X_n ])
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also der
\definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{}
in $n$ Variablen, die
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{,} da die Variablen
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
sind.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{F \in K(X_1 , \ldots , X_n )[T]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{,}
die Koeffizienten des Polynoms sind also rationale Funktionen in den $n$ Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{.} Nach
Korollar 7.7
ist der Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ \defeq} {K(X_1 , \ldots , X_n )[T]/(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper, und zwar eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
von
\mathl{K(X_1 , \ldots , X_n )}{,} deren
\definitionsverweis {Grad}{}{}
durch den Grad des Polynoms gegeben ist. Insbesondere bilden die Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} eine
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
von $L$.
}
Wenn eine algebraische Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K(X_1 , \ldots , X_n)
}
{ \subset} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt, so kann es natürlich trotzdem sein, dass $L$ die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { K(Y_1 , \ldots , Y_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt, also isomorph zum Körper der rationalen Funktionen ist. Das einfachste Beispiel ergibt sich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{Y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {rein transzendent}{,}
wenn es
\definitionsverweis {algebraisch unabhängige}{}{}
Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in L}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Rein transzendent bedeutet also einfach, dass es eine $K$-Isomorphie zum Körper der rationalen Funktionen gibt. Es ist im Allgemeinen schwierig zu entscheiden, ob ein gegebener Körper rein transzendent ist. Der Quotientenkörper von
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} ist rein transzendent
\zusatzklammer {über ${\mathbb C}$} {} {,}
der Quotientenkörper von
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(X^3+Y^3-1)}{} ist hingegen nicht rein transzendent.
Wir wollen zeigen, dass die Anzahl der Elemente in einer Transzendenzbasis wohlbestimmt ist. Die Argumentation orientiert sich am Beweis des Satzes der linearen Algebra, dass die Anzahl der Elemente in einer Vektorraumbasis, also die Dimension des Vektorraumes, wohlbestimmt ist.
\inputfaktbeweis
{Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Austauscheigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein Grundkörper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\definitionsverweis {endlichen Transzendenzbasen}{}{}
\mathkor {} {f_1 , \ldots , f_m} {und} {g_1 , \ldots , g_n} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem Element $f_i$ der ersten Transzendenzbasis ein Element $g_j$ der zweiten Transzendenzbasis derart, dass
\mathl{f_1 , \ldots , f_{i-1}, g_j, f_{i+1} , \ldots , f_m}{} ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen, dass man $f_m$ durch eines der $g_j$ ersetzen kann. Da die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K(f_1 , \ldots , f_m )
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algebraisch ist, gibt es zu jedem $g_j$ ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{P_j \in K(f_1 , \ldots , f_m ) [T]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_j(g_j)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der $P_j$ und können dann annehmen, dass
\mathl{P_j \in K[f_1 , \ldots , f_m ] [T]}{} gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche $P_j$ sogar zu
\mathl{K[f_1 , \ldots , f_{m-1} ] [T]}{} gehören. Dann wäre die Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K (f_1 , \ldots , f_{m-1} )
}
{ \subseteq} { K(g_1 , \ldots , g_n)
}
{ \subseteq} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine nach
Aufgabe 10.4
algebraische Erweiterung und insbesondere wäre $f_m$ algebraisch über
\mathl{K(f_1 , \ldots , f_{m-1} )}{} im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die $f_i$ algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein $P_j$ mit
\mathl{P_j \notin K[f_1 , \ldots , f_{m-1} ] [T]}{.} Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_j
}
{ =} { \sum_{k = 0}^r \alpha_k T^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha_k
}
{ =} { \sum_{ \ell = 0}^s \beta_{k, \ell } f_m^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\beta_{k, \ell } \in K[f_1 , \ldots , f_{m-1} ]}{.} Dabei ist zumindest ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta_{k, \ell }
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\ell
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher können wir die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_j (g_j)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als eine algebraische Gleichung für $f_m$ über
\mathl{K[ f_1 , \ldots , f_{m-1}, g_j ]}{} lesen. Dies bedeutet, dass $f_m$ algebraisch über
\mathl{K(f_1 , \ldots , f_{m-1},g_j )}{} ist.
Wir behaupten, dass
\mathl{f_1 , \ldots , f_{m-1},g_j}{} eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass $L$ darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste $g_j$ algebraisch über
\mathl{K(f_1 , \ldots , f_{m-1})}{} sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch $f_m$ algebraisch über
\mathl{K(f_1 , \ldots , f_{m-1})}{} im Widerspruch zur Voraussetzung.
\inputfaktbeweis
{Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein Grundkörper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit einer
\definitionsverweis {endlichen Transzendenzbasis}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt jede Transzendenzbasis von $L$ über $K$ gleich viele Elemente.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $m$ die minimale Zahl derart, dass es eine Transzendenzbasis mit $m$ Elementen gibt. Es sei
\mathl{f_1 , \ldots , f_m}{} eine Transzendenzbasis und
\mathl{g_1 , \ldots , g_n}{} eine weitere Transzendenzbasis mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} {m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Elementen. Wir wenden
Lemma 28.8
sukzessive an und erhalten Transzendenzbasen
\mathdisp {g_{j_1}, f_2 , \ldots , f_m} { , }
\mathdisp {g_{j_1}, g_{j_2}, f_3 , \ldots , f_m} { , }
\mathdisp {\ldots} { }
\mathdisp {g_{j_1}, g_{j_2}, g_{j_3} , \ldots , g_{j_{m-1} }, f_m} { , }
\mathdisp {g_{j_1}, g_{j_2},g_{j_3} , \ldots , g_{j_{m-1} }, g_{j_m}} { , }
wobei die
\mathl{g_{j_i}}{} Elemente der zweiten Familie sind. Die letzte Familie ist eine Transzendenzbasis mit $m$ Elementen
\zusatzklammer {es kann keine Elementwiederholungen geben wegen der vorausgesetzen Minimalität von $m$} {} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
würde sich ein Widerspruch ergeben, da eine echte Teilfamilie einer Transzendenzbasis keine Transzendenzbasis sein kann, also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Der Transzendenzgrad}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein Grundkörper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {endlichen Transzendenzbasis}{}{.}
Dann nennt man die Anzahl der Elemente in einer jeden
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
von $L$ über $K$ den
\definitionswort {Transzendenzgrad}{}
von $L$ über $K$. Dafür schreibt man
\mathl{\operatorname{trdeg} { \left( L / K \right) }}{.}
}
Nach Satz 28.9 ist dieser Transzendenzgrad wohldefiniert.
\inputfaktbeweis
{Funktionenkörper/n/Endliche Erweiterung/Transzendenzgrad/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K(X_1 , \ldots , X_n )
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraische Körpererweiterung}{}{}
des
\definitionsverweis {Körpers der rationalen Funktionen}{}{}
in $n$ Variablen.}
\faktfolgerung {Dann ist der Transzendenzgrad von $L$ über $K$ gleich $n$.}
\faktzusatz {Insbesondere besitzt der Körper der rationalen Funktionen
\mathl{K(X_1 , \ldots , X_n )}{} den Transzendenzgrad $n$.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt daraus, dass die Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} eine
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
von
\mathl{K(X_1 , \ldots , X_n)}{} und von $L$ bilden und dass man nach
Satz 28.9
den Transzendenzgrad mit jeder Basis bestimmen kann.
\inputfaktbeweis
{Körper/Algebraisch unabhängig/Isomorphie zu Funktionenkörper/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in L}{} Elemente.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} sind
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{.}
}{Der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
induziert eine
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\maabbeledisp {} {K(X_1 , \ldots , X_n)} { K( f_1 , \ldots , f_n )
} {X_i} { f_i
} {,}
}{Es gibt eine $K$-Algebraisomorphie
\maabbdisp {} {K(X_1 , \ldots , X_n)} { K( f_1 , \ldots , f_n )
} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus
Lemma 28.3.
Von (2) nach (3) ist klar, sei also (3) erfüllt. Da eine Isomorphie vorliegt, und der
\definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{}
eine
\zusatzklammer {wohldefinierte} {} {}
invariante einer Körpererweiterung ist, besitzt der Körper
\mathl{K(f_1 , \ldots , f_n)}{} den Transzendenzgrad $n$. Von diesem Körper ist
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} eine
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
und insbesondere algebraisch unabhängig.
\inputfaktbeweis
{Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kette von
\definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{trdeg} { \left( M / K \right) }
}
{ =} { \operatorname{trdeg} { \left( L / K \right) } + \operatorname{trdeg} { \left( M / L \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{x_1 , \ldots , x_n \in L}{} eine
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
von $L$ über $K$ und
\mathl{y_1 , \ldots , y_m \in M}{} eine Transzendenzbasis von $M$ über $L$. Nach
Aufgabe 28.10
ist
\mathl{x_1 , \ldots , x_n, y_1 , \ldots , y_m}{}
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
über $K$. Nach Voraussetzung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algebraisch. Daher ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K(x_1 , \ldots , x_n,y_1 , \ldots , y_m )
}
{ \subseteq} {L( y_1 , \ldots , y_m )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
algebraisch. Da auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L( y_1 , \ldots , y_m )
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algebraisch ist, folgt mit
Aufgabe 10.4,
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K(x_1 , \ldots , x_n,y_1 , \ldots , y_m )
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algebraisch ist.
\inputfaktbeweis
{Körper/Transzendenzgrad/Unterkörper/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kette von
\definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{trdeg} { \left( L / K \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{trdeg} { \left( M / K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Korollar 28.13.