Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$  ein maximales Ideal und  ${}f\notin {\mathfrak {m}}$.  Dann ist zu jedem  ${}n\in \mathbb {N}$  die Restklasse von ${}f$ in ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ eine Einheit.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei  ${}0\neq p\in R$  keine Einheit. Dann ist ${}p$ genau dann ein Primelement, wenn das von ${}p$ erzeugte Ideal  ${}(p)\subset R$  ein Primideal ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei  ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$  ein Primideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass aus einer Inklusionsbeziehung

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}\,$

die Inklusion  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$  oder  ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$  folgt.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ der Durchschnitt von Primidealen ist.