Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 11

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I$ ein Ideal. Zeige, dass ${}\left\{1+x\mid x\in I\right\}$ ein multiplikatives System in ${}R$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal. Zeige, dass

${}J:=\left\{f\in R\mid {\text{Es gibt ein }}s\in S{\text{ mit }}sf\in I\right\}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist, dass ${}I$ umfasst.

Aufgabe

Es sei  ${}Y\subseteq \mathbb {R}$  eine fixierte Teilmenge. Zeige, dass die Menge

${}S=\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}},\,f{\text{ besitzt in }}T{\text{ keine Nullstelle}}\right\}\,$

ein multiplikatives System im Ring der stetigen Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ ist.

Ein multiplikatives System ${}S$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist  ${}g\in R$  und gibt es ein  ${}f\in S$,  das von ${}g$ geteilt wird, so ist auch  ${}g\in S$. 

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System  ${}F\subseteq R$  nennt man einen Ultrafilter, wenn  ${}0\notin F$  ist und wenn ${}F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in ${}R$ ein saturiertes multiplikatives System bilden.

Aufgabe

Es seien ${}A,B$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi :A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(B^{\times })$ der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}F\subseteq R$  ein multiplikatives System mit  ${}0\notin F$.  Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem  ${}g\in R$,   ${}g\notin F$,  ein  ${}f\in F$  und eine natürliche Zahl ${}n$ mit  ${}fg^{n}=0$  gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}F\subseteq R$  ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ${}F$ ein minimales Primideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal und  ${}M\subseteq R$  ein multiplikatives System mit  ${}{\mathfrak {a}}\cap M=\emptyset$.  Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$  und mit  ${}{\mathfrak {p}}\cap M=\emptyset$  gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass die Überkreuzrelation auf der Produktmenge ${}R\times S$ eine Äquivalenzrelation ist, und dass für die Äquivalenzklassen  ${}{\frac {r}{s}}:=[(r,s)]$  durch

${}{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}:={\frac {rs'+r's}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Addition und durch

${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}:={\frac {rr'}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in ${}R_{S}$ genau denjenigen Primidealen in ${}R$ entsprechen, die mit ${}S$ einen leeren Durchschnitt haben.