Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul,  ${}R\neq 0$.  Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge  ${}J\subseteq I$  die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Familie ist genau dann linear abhängig, wenn man einen Vektor darin als Linearkombination der anderen ausdrücken kann.
2. Ein einzelner Vektor ${}v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn  ${}v\neq 0$  ist.
3. Zwei Vektoren ${}v$ und ${}u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${}u$ ein skalares Vielfaches von ${}v$ ist noch umgekehrt.

Aufgabe

Zeige, dass im ${}R$- Modul der ${}m\times n$- Matrizen ${}\operatorname {Mat} _{m\times n}(R)$ die Matrizen ${}E_{ij}$, die genau an der Stelle ${}(i,j)$ den Eintrag ${}1$ und sonst überall den Eintrag ${}0$ haben, eine Basis bilden.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}M$ und  ${}w\in M$  ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_{i},i\in I,$

ein Erzeugendensystem von ${}M$ ist und dass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}M$ ist.