Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 16

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Dazu ist äquivalent, dass das Komplement der Einheitengruppe von ${}R$ abgeschlossen unter der Addition ist. Die einfachsten lokalen Ringe sind die Körper. Zu jedem lokalen Ring ${}R$ gehört der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$, den man den Restekörper von ${}R$ nennt.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also

${}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn macht.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$.

Dann ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung

${}R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Wir zeigen, dass das Komplement von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, so dass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also ${}q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$, aber nicht in ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und somit gehört der inverse Bruch ${}{\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$.

Dann ist

${}R=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ Primideal }}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximales Ideal }}}R_{\mathfrak {m}}\,.$

Beweis

Die Inklusionen ${}\subseteq$ sind klar. Zu ${}q\in Q(R)$ betrachten wir das Nennerideal

${}{\mathfrak {a}}={\left\{f\in R\mid fq\in R\right\}}\,.$

Wenn ${}q$ nicht zu ${}R$ gehört, so ist das Nennerideal nicht das Einheitsideal. Dann gibt es auch ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$. Aus ${}q\in R_{\mathfrak {m}}$ würde sich direkt ein Widerspruch ergeben.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal.

Dann ist der Quotientenkörper des Restklassenringes ${}R/{\mathfrak {p}}$ in natürlicher Weise isomorph zum Restekörper der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$.

Es ist also

${}Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,.$

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Q(R/{\mathfrak {p}})&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \psi \!\!\!\!\!&&\\R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Ringhomomorphismen, wobei ${}\varphi$ und ${}\psi$ zu konstruieren sind. Unter dem Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$

wird das Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ auf ${}0$ abgebildet, der Ringhomomorphismus ${}\varphi$ ergibt sich als induzierter Homomorphismus. Unter ${}\varphi$ werden Elemente ${}[r]\in R/{\mathfrak {p}}$, ${}[r]\neq 0$, die also durch ${}r\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert werden, auf Einheiten abgebildet. Somit gibt es nach Satz 15.13 eine Fortsetzung auf den Quotientenkörper

$\psi \colon Q(R/{\mathfrak {p}})\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.$

Diese ist als Ringhomomorphismus zwischen Körpern injektiv. Ein Element des Restekörpers, das in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ durch ${}r/s$ mit ${}s\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert wird, wird unter ${}\psi$ durch das Element ${}[r]/[s]$ getroffen (beachte ${}[s]\neq 0$).

$\Box$

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