Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 16

Lineare Unabhängigkeit

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn für jede endliche Summe

${}\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}=0\,$

mit  ${}r_{i}\in R$  und  ${}J\subseteq I$  endlich gilt, dass alle  ${}r_{i}=0$. 

Wenn eine Familie nicht linear unabhängig ist, so nennt man sie linear abhängig. Man nennt übrigens eine Linearkombination  ${}\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0$  eine Darstellung des Nullvektors. Sie heißt die triviale Darstellung, wenn alle Koeffizienten ${}s_{i}$ gleich ${}0$ sind, andernfalls, wenn also mindestens ein Koeffizient nicht ${}0$ ist, spricht man von einer nichttrivialen Darstellung der Null. Eine Familie von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn man mit ihnen nur auf die triviale Art den Nullvektor darstellen kann.

Dineare Unabhängigkeit einer beliebigen Familie wird also auf den endlichen Fall zurückgeführt. Man beachte, dass es in einem Modul keine unendlichen Summen gibt, ein Ausdruck wie  ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }s_{n}v_{n}=0$  kann also von vornherein bei Untersuchungen zur linearen Unabhängigkeit keine Rolle spielen.

Beispiel

Die Standardvektoren im ${}R^{n}$ sind linear unabhängig. Eine Darstellung

${}\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}=0\,$

bedeutet ja einfach

${}s_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$

woraus sich aus der ${}i$-ten Zeile direkt  ${}s_{i}=0$  ergibt.

Bemerkung  

Die Vektoren ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}\in R^{m}$ sind genau dann linear abhängig, wenn das homogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

eine nichttriviale (d.h. von ${}0$ verschiedene) Lösung besitzt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul,  ${}R\neq 0$.  Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge  ${}J\subseteq I$  die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.

Beweis

Siehe Aufgabe 16.1.

$\Box$

Lemma

Es sei  ${}R\neq 0$  ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Ein Element  ${}f\in R$  ist genau dann linear unabhängig, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
2. Zwei Elemente  ${}f,g\in R$  stets linear abhängig.

Beweis

1. Dies ist unmittelbar klar.
2. Dies folgt bei  ${}f,g\neq 0$  direkt aus

   ${}fg-gf=0\,.$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Familie ist genau dann linear abhängig, wenn man einen Vektor darin als Linearkombination der anderen ausdrücken kann.
2. Ein einzelner Vektor ${}v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn  ${}v\neq 0$  ist.
3. Zwei Vektoren ${}v$ und ${}u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${}u$ ein skalares Vielfaches von ${}v$ ist noch umgekehrt.

Beweis

Siehe Aufgabe 16.2.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Es sei ${}M$ die direkte Summe der Untermoduln ${}U_{i}$, ${}i\in I$, und es sei in jedem ${}U_{i}$ eine Familie ${}v_{ij}$, ${}j\in J_{i}$ von linear unabhängigen Vektoren gegeben.

Dann ist auch die Gesamtfamilie ${}v_{ij}$, ${}i\in I$, ${}j\in J_{i}$, linear unabhängig in ${}M$.

Beweis

Modul/Direkte Summe von Untermoduln/Linear unabhängig/Fakt/Beweis

$\Box$

Basen

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt eine Basis (oder genauer: eine ${}R$-Basis) von ${}M$.

Beispiel

Die Standardvektoren im ${}R^{n}$ bilden eine Basis. Die lineare Unabhängigkeit wurde in Beispiel 16.2 gezeigt. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, sei

${}v={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in R^{n}\,$

ein beliebiger Vektor. Dann ist aber direkt

${}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}\,.$

Also liegt eine Basis vor, die man die Standardbasis des ${}R^{n}$ nennt.

Beispiel

Wir betrachten den ${}R$- Untermodul  ${}U\subset R^{n}$,  der durch

${}U={\left\{v\in R^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\right\}}\,$

gegeben ist. Eine Basis ist durch die ${}n-1$ Vektoren

$u_{1}=(1,-1,0,0,\ldots ,0),\,u_{2}=(0,1,-1,0,\ldots ,0),\,,\ldots ,u_{n-1}=(0,0,\ldots ,0,1,-1),\,$

gegeben. Diese Vektoren gehören offenbar zu ${}U$. Die lineare Unabhängigkeit kann man in ${}R^{n}$ überprüfen. Aus einer Gleichung

${}\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}=0\,$

folgt schrittweise  ${}a_{1}=0$,   ${}a_{2}=0$,  u.s.w. Dass ein Erzeugendensystem vorliegt, ergibt sich aus

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}+v_{3}){\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +(v_{1}+v_{2}+v_{3}+\cdots +v_{n-1}){\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\\-1\end{pmatrix}}\,,$

wobei die Gültigkeit in der letzten Zeile auf der Bedingung

${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\,$

beruht.

Für die komplexen Zahlen bilden ${}1,{\mathrm {i} }$ eine reelle Basis. Im Modul aller ${}m\times n$- Matrizen ${}\operatorname {Mat} _{m\times n}(R)$ bilden diejenigen Matrizen, die an genau einer Stelle eine ${}1$ und sonst überall ${}0$ stehen haben, eine Basis, siehe Aufgabe 16.3.

Beispiel

Im Polynomring ${}R[X]$ über einem kommutativen Ring ${}R$ sind die Potenzen ${}X^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Basis. Nach Definition kann man jedes Polynom

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$

als Linearkombination der Potenzen ${}X^{0}=1,X^{1}=X,\ldots ,X^{n}$ schreiben. Ferner sind diese Potenzen linear unabhängig. Wenn nämlich

${}a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}=0\,$

ist, so müssen alle Koeffizienten gleich ${}0$ sein (dies gehört zum Begriff eines Polynoms).

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen in ${}M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Familie ist eine Basis von ${}M$.
2. Für jeden Vektor  ${}u\in M$  gibt es genau eine Darstellung

   ${}u=\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\,$

   mit einer endlichen Teilmenge  ${}J\subseteq I$. 

Beweis

Modul/Charakterisierung von Basis/Eindeutige Darstellung/Fakt/Beweis

$\Box$

Bemerkung  

Es sei eine Basis  ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$  eines endlich erzeugten freien Moduls ${}V$ über ${}R$ gegeben. Aufgrund von Lemma 16.12 bedeutet dies, dass es für jeden Vektor  ${}u\in V$  eine eindeutig bestimmte Darstellung (eine Linearkombination)

${}u=s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\,$

gibt. Die dabei eindeutig bestimmten Elemente  ${}s_{i}\in R$  (Skalare) heißen die Koordinaten von ${}u$ bezüglich der gegebenen Basis. Bei einer gegebenen Basis entsprechen sich also die Vektoren und die Koordinatentupel  ${}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in R^{n}$.  Man sagt, dass eine Basis ein lineares Koordinatensystem festlegt. Durch eine Basis hat man also insbesondere eine bijektive Abbildung

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon R^{n}\longrightarrow V,\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}.$

Die Umkehrabbildung

${\left(\Psi _{\mathfrak {v}}\right)}^{-1}\colon V\longrightarrow R^{n}$

nennt man auch die Koordinatenabbildung.

Basen in einem Vektorraum

Der folgende Satz gibt eine wichtige Charakterisierung dafür, wann eine Basis in einem Vektorraum vorliegt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
3. Für jeden Vektor  ${}u\in V$  gibt es genau eine Darstellung

   ${}u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\,.$

4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

Beweis

Wir führen einen Ringschluss durch. ${}(1)\Rightarrow (2)$. Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir ${}v_{1}$, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also ${}v_{2},\ldots ,v_{n}$ kein Erzeugendensystem mehr ist.  Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere ${}v_{1}$ als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

${}v_{1}=\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}\,.$

Dann ist aber

${}v_{1}-\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}=0\,$

eine nichttriviale Darstellung der ${}0$, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. ${}(2)\Rightarrow (3)$. Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt.  Angenommen, es gibt für ein  ${}u\in V$  eine mehrfache Darstellung, d.h.

${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\,,$

wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei  ${}s_{1}\neq t_{1}$.  Dann erhält man die Beziehung

${}(s_{1}-t_{1})v_{1}=\sum _{i=2}^{n}(t_{i}-s_{i})v_{i}\,$

Wegen  ${}s_{1}-t_{1}\neq 0$  kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von ${}v_{1}$ durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe 16.4 ist auch die Familie ohne ${}v_{1}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$, im Widerspruch zur Minimalität. ${}(3)\Rightarrow (4)$. Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor ${}u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung

${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

und daher ist

${}0=u-\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

eine nichttriviale Darstellung der ${}0$, sodass die verlängerte Familie ${}u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig ist. ${}(4)\Rightarrow (1)$. Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu  ${}u\in V$.  Nach Voraussetzung ist die Familie ${}u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung

${}0=su+\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,.$

Dabei ist  ${}s\neq 0$,  da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der ${}0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ wäre. Daher können wir

${}u=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {s_{i}}{s}}v_{i}\,$

schreiben, sodass eine Darstellung von ${}u$ möglich ist.

$\Box$

Satz 16.14 lässt sich nicht verallgemeinern, wie schon einfache Beispiele zeigen.

Beispiel

In einem Integritätsbereich ${}R$ ist jedes Element  ${}f\neq 0$  maximal linear unabhängig, was auf Lemma 16.5 beruht. Ein Basisvektor liegt aber nur dann vor, wenn ${}f$ eine Einheit ist. Dagegen sind beispielsweise in ${}\mathbb {Z}$ die beiden Elemente ${}2$ und ${}3$ ein minimales Erzeugendensystem, da sie zusammen ${}\mathbb {Z}$ erzeugen, einzeln aber nicht.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzt ${}V$ eine endliche Basis.

Beweis

Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$ mit einer endlichen Indexmenge ${}I$. Wir wollen mit der Charakterisierung aus Satz 16.14  (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein  ${}k\in I$  derart, dass die um ${}v_{k}$ reduzierte Familie, also ${}v_{i}$, ${}i\in I\setminus \{k\}$, ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge  ${}J\subseteq I$  derart, dass ${}v_{i}$, ${}i\in J$, ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.

$\Box$

Satz

Jeder Vektorraum

besitzt eine Basis.

Beweis

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über einem Körper ${}K$. Es sei

$M={\left\{T\subseteq V\mid {\text{ Die Elemente aus }}T{\text{ sind linear unabhängig}}\right\}}\,.$

Die leere Menge gehört zu ${}M$, also ist ${}M$ nicht leer. Es sei  ${}N\subseteq M$  eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass

${}S=\bigcup _{T\in N}T\,$

ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von ${}N$ in ${}M$ bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge  ${}E\subseteq S$,  deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein  ${}T\in N$,  das ${}E$ umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem Lemma von Zorn besitzt ${}M$ also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge  ${}T\subseteq V$,  die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von ${}V$ gibt. Wir behaupten, dass ${}T$ auch ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist. Es sei dazu  ${}v\in V$.  Bei  ${}v\in T$  sind wir fertig. Bei  ${}v\notin T$  ist ${}T\cup \{v\}$ linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}t_{i}+cv=0\,$

mit Elementen  ${}t_{i}\in T$  und Koeffizienten  ${}c_{i},c\in K$,  die nicht alle ${}0$ sind. Dabei kann ${}c$ nicht ${}0$ sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus ${}T$ vorliegen würde. Also kann man ${}v$ als Linearkombination der ${}t_{1},\ldots ,t_{n}$ ausdrücken.

$\Box$

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