Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 16

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Definition  

Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.

Dazu ist äquivalent, dass das Komplement der Einheitengruppe von abgeschlossen unter der Addition ist. Die einfachsten lokalen Ringe sind die Körper. Zu jedem lokalen Ring gehört der Restklassenkörper , den man den Restekörper von nennt.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also

Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn macht.



Satz  

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal in .

Dann ist die Lokalisierung ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

Beweis  

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung

Wir zeigen, dass das Komplement von nur aus Einheiten besteht, so dass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Sei also , aber nicht in . Dann sind und somit gehört der inverse Bruch ebenfalls zur Lokalisierung.



Lemma  

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper .

Dann ist

Beweis  

Die Inklusionen sind klar. Zu betrachten wir das Nennerideal

Wenn nicht zu gehört, so ist das Nennerideal nicht das Einheitsideal. Dann gibt es auch ein maximales Ideal . Aus würde sich direkt ein Widerspruch ergeben.




Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal.

Dann ist der Quotientenkörper des Restklassenringes in natürlicher Weise isomorph zum Restekörper der Lokalisierung .

Es ist also

Beweis  



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