Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es sei ${}U_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Untermoduln. Dann ist auch der Durchschnitt

   ${}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$

   ein Untermodul.

2. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Elementen in ${}M$ ist der erzeugte Untermodul ein Untermodul von ${}M$.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}M$, wenn

   ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =M\,$

   ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal mit  ${}IM=0$.  Zeige, dass ${}M$ in natürlicher Weise ein ${}R/I$-Modul ist.