Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 14

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ das einzige Primideal von ${}R$ ist.

Dann gibt es einen Exponenten  ${}n\in \mathbb {N}$  mit

${}{\mathfrak {m}}^{n}=0\,.$

Beweis

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in ${}R$ eine Einheit oder nilpotent ist. Es sei hierzu  ${}f\in R$  keine Einheit. Dann ist  ${}f\in {\mathfrak {m}}$.  Angenommen, ${}f$ ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Lemma 10.12 ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$.  Damit ergibt sich der Widerspruch  ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}$. 

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ von ${}{\mathfrak {m}}$ eine natürliche Zahl ${}m$ mit $f_{i}^{m}=0$ für alle $i=1,\ldots ,k$. Sei  ${}n=km$.  Dann ist ein beliebiges Element aus ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ von der Gestalt

${\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i1}f_{i}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i2}f_{i}\right)}\cdots {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{in}f_{i}\right)}.$

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen $f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{k}^{r_{k}}$ und $\sum _{i=1}^{k}r_{i}=n$, sodass ein ${}f_{i}$ mit einem Exponenten  ${}\geq n/k=m$  vorkommt. Daher ist das Produkt ${}0$.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring mit nur endlich vielen Primidealen ${}{\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{n}$, die alle maximal seien.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${}R\cong R_{{\mathfrak {m}}_{1}}\times \cdots \times R_{{\mathfrak {m}}_{n}}\,.$

Beweis

Die maximalen Ideale sind zugleich die minimalen Primideale. Daher besteht der Durchschnitt  ${}{\mathfrak {a}}=\bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}$  aller maximalen Ideale nur aus nilpotenten Elementen. Da der Ring noethersch ist, gibt es dann auch ein ${}s$ mit  ${}{\mathfrak {a}}^{s}=0$.  Zu jedem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{i}$ betrachten wir die Lokalisierung ${}R\rightarrow R_{{\mathfrak {m}}_{i}}$. Wir behaupten, dass diese Lokalisierung isomorph zum Restklassenring

$R/{\mathfrak {a}}_{i}{\text{ mit }}{\mathfrak {a}}_{i}:={\mathfrak {m}}_{i}^{s}$

ist. Wegen  ${}\prod _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\subseteq \bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}$  ist  ${}{\left(\prod _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\right)}^{s}\subseteq {\left(\bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\right)}^{s}$  und daher ist auch  ${}{\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n}=0$.  Es sei  ${}i=1$.  Zu jedem  ${}j\neq 1$  gibt es ein $g_{j}\in {\mathfrak {m}}_{j}$ mit $g_{j}\notin {\mathfrak {m}}_{1}$. Daher gilt für jedes Element  ${}f\in {\mathfrak {a}}_{1}$  die Beziehung

${}fg_{2}^{s}\cdots g_{n}^{s}=0\,.$

Wegen  ${}g_{2}^{s}\cdots g_{n}^{s}\notin {\mathfrak {m}}_{1}$  bedeutet dies, dass ${}f$ unter der Lokalisierungsabbildung auf ${}0$ geht. Wir erhalten also einen Ringhomomorphismus

$R/{\mathfrak {a}}_{1}\longrightarrow R_{{\mathfrak {m}}_{1}}.$

Damit ist die Lokalisierung rechts auch eine Lokalisierung des Restklassenringes links. Die maximalen Ideale erzeugen paarweise das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für beliebige Potenzen davon. Daraus folgt zunächst, dass das Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{1}$ nur in ${}{\mathfrak {m}}_{1}$ enthalten ist. Daher ist der Restklassenring links selbst ein lokaler nulldimensionaler Ring. Also muss die Abbildung ein Isomorphismus sein.

Die gegebene Abbildung kann man also auch schreiben als

$R\longrightarrow \prod _{i=1}^{n}R/{\mathfrak {a}}_{i}.$

Hierbei erzeugen die ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ paarweise das Einheitsideal, sodass nach dem Chinesischen Restsatz eine Isomorphie vorliegt.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich.

Dann besitzt jede Nichteinheit  ${}f\neq 0$  eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente.

Beweis

Nehmen wir an, dass es eine Nichteinheit  ${}f\neq 0$  gibt, für die es keine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dann ist insbesondere ${}f$ nicht irreduzibel und somit gibt es eine Zerlegung  ${}f=f_{1}g_{1}$,  bei der die Faktoren keine Einheiten sind. Nach Voraussetzung besitzt zumindest ein Faktor, sagen wir ${}f_{1}$, keine Zerlegung in irreduzible Faktoren. Dabei gilt

${}(f)\subset {\left(f_{1}\right)}\,,$

wobei die Inklusion echt ist, da andernfalls ${}g_{1}$ eine Einheit wäre. So fortfahrend kann man eine unendliche Kette von Hauptidealen

${}(f)\subset {\left(f_{1}\right)}\subset {\left(f_{2}\right)}\subset \ldots \,$

konstruieren. Dies widerspricht aber Proposition 13.2.

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Algebren von endlichem Typ

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine ${}R$- Algebra ${}A$ heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

besitzt.

Eine endlich erzeugte ${}R$-Algebra besitzt also eine Darstellung als Restklassenring einer Polynomalgebra über ${}R$ in endlich vielen Variablen. Eine solche Darstellung ist keineswegs eindeutig.

Korollar

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist jede ${}R$- Algebra von endlichem Typ ebenfalls noethersch. Insbesondere ist für einen Körper ${}K$ jede ${}K$-Algebra von endlichem Typ noethersch.

Beweis

Dies folgt aus Korollar 13.5 und aus Lemma 13.3.

$\Box$

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