Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 13

Noethersche Ringe

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Proposition

Für einen kommutativen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

${}R$ ist noethersch.

Jede aufsteigende Idealkette
${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ .

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Es sei

{}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,

eine aufsteigende Idealkette in ${}R$ . Wir betrachten die Vereinigung

{}{\mathfrak {a}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\,,

die wieder ein Ideal in ${}R$ ist. Da ${}R$ noethersch ist, ist ${}{\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt, d.h. ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{k})$ . Da diese ${}f_{i}$ in der Vereinigung der Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein ${}n$ derart geben, dass ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{n}$ liegt. Wegen

{}(f_{1},\ldots ,f_{k})\subseteq {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+m}\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq (f_{1},\ldots ,f_{k})\,

für ${}m\geq 0$ muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab ${}n$ stationär ist.

(2) ${}\Rightarrow$ (1). Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$ . Wir nehmen an, ${}{\mathfrak {a}}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subset {\mathfrak {a}}$ , wobei die ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu

{}{\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}\,

bereits konstruiert. Da ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ endlich erzeugt ist, aber ${}{\mathfrak {a}}$ nicht, ist die Inklusion ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$ echt und es gibt ein Element ${}f_{n+1}\in {\mathfrak {a}}$ , ${}f_{n+1}\not \in {\mathfrak {a}}_{n}$ . Dann setzt das Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{n+1}:={\mathfrak {a}}_{n}+(f_{n+1})$ die Idealkette echt aufsteigend fort.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {b}}$ noethersch.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}$ ein Ideal und sei ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$ das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ . Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${}{\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$ , bilden ein Idealerzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$ : Für ein Element ${}{\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$ gilt ja ${}g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$ in ${}R$ und damit ${}{\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$ in ${}R/{\mathfrak {b}}$ .

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Der Hilbertsche Basissatz

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ ein Ideal im Polynomring ${}R[X]$ . Zu ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ in ${}R$ durch

{}{\mathfrak {a}}_{n}={\left\{c\in R\mid {\text{es gibt }}F\in {\mathfrak {b}}{\text{ mit }}F=cX^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\right\}}\,.

Das Menge ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad ${}n$ aus ${}{\mathfrak {b}}$ . Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in ${}R$ (wobei wir hier ${}0$ als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+1}$ , da man ja ein Polynom ${}F$ vom Grad ${}n$ mit Leitkoeffizient ${}c$ mit der Variablen ${}X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad ${}n+1$ zu erhalten, das wieder ${}c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da ${}R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei ${}n$ derart, dass ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ ist.

Zu jedem ${}i\leq n$ sei nun ${}{\mathfrak {a}}_{i}=(c_{i1},\ldots ,c_{ik_{i}})$ ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

{}F_{ij}=c_{ij}X^{i}+{\text{ Terme von kleinerem Grad }}\,

zugehörige Polynome aus ${}{\mathfrak {b}}$ (die es nach Definition der ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ geben muss).

Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {b}}$ von allen ${}{\left\{F_{ij}\mid 0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}\right\}}$ erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes ${}G\in {\mathfrak {b}}$ durch Induktion über den Grad von ${}G$ , dass es als ${}R$ -Linearkombination mit diesen ${}F_{ij}$ darstellbar ist. Für ${}G$ konstant, also ${}G\in R$ , ist dies klar. Es sei nun der Grad von ${}G$ gleich ${}d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

{}G=cX^{d}+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.

Es ist ${}c\in {\mathfrak {a}}_{d}$ und damit kann man ${}c$ als ${}R$ -Linearkombination der ${}c_{ij}$ , ${}0\leq i\leq n$ , ${}1\leq j\leq k_{i}$ , schreiben. Bei ${}d\leq n$ kann man ${}c$ sogar als ${}R$ -Linearkombination der ${}c_{dj}$ , ${}j=1,\ldots ,k_{d}$ , schreiben, sagen wir ${}c=\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}c_{dj}$ . Dann ist ${}G-\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}F_{dj}\in {\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei ${}d>n$ ist

{}c=\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}c_{ij}\,.

Damit gehört

G-\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}X^{d-i}F_{ij}

ebenfalls zu ${}{\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch ${}R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

Beweis

Dies folgt durch induktive Anwendung des Hilbertschen Basissatzes auf die Kette

{}R\subset R[X_{1}]\subset (R[X_{1}])[X_{2}]=R[X_{1},X_{2}]\subset (R[X_{1},X_{2}])[X_{3}]=R[X_{1},X_{2},X_{3}]\subset \ldots \subset R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.

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Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper.

Dann ist ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Korollar 13.5.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und seien ${}f,g\neq 0$ und ${}g$ keine Einheit.

Dann gibt es einen maximalen Exponenten ${}n$ derart, dass ${}f$ ein Vielfaches von ${}g^{n}$ ist.

Beweis

Nehmen wir an, dass alle

{\frac {f}{g}},\,{\frac {f}{g^{2}}},\,{\frac {f}{g^{3}}},\,\ldots

zu ${}R$ gehören. Hierbei sind die vorhergehenden Elemente Vielfache der hinteren. Wegen noethersch wird das von diesen Elementen erzeugte Ideal von endlich vielen und damit auch von einem Element erzeugt, sagen wir von ${}{\frac {f}{g^{k}}}$ . Dann gilt insbesondere

{}{\frac {f}{g^{k+1}}}=a{\frac {f}{g^{k}}}\,

und somit

{}f=agf\,

und

{}1=ag\,,

im Widerspruch zur Voraussetzung.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Es sei ${}R_{p}$ faktoriell und ${}g\in R$ ein Element, das aufgefasst in ${}R_{p}$ prim ist.

Dann gilt ${}g=hp^{r}$ in ${}R$ mit einer Einheit oder einem Primelement ${}h$ .

Beweis

Wir schreiben ${}g=hp^{r}$ mit dem maximal möglichen Exponenten ${}r$ , den es nach Lemma 13.7 gibt, und behaupten, dass ${}h$ ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo ${}h$ keine Einheit ist, und müssen ${}h$ als Primelement nachweisen. Es teile ${}h$ ein Produkt, sagen wir

{}hc=ab\,.

Daraus ergibt sich in ${}R_{p}$ , da ${}h$ wie ${}g$ prim in ${}R_{p}$ ist, dass ${}h$ einen der Faktoren in ${}R_{p}$ teilt. Es gibt also ein ${}d\in R$ mit

{}h{\frac {d}{p^{s}}}=a\,,

also

{}hd=ap^{s}\,

in ${}R$ . Bei ${}s=0$ ist man fertig. Andernfalls teilt ${}p$ , da es ${}h$ wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor ${}d$ und so erhält man