Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 15

Moduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}M=(M,+,0)$  eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${}r,s\in R$ und ${}u,v\in M$ beliebig):

1.  ${}r(su)=(rs)u$, 
2.  ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$, 
3.  ${}(r+s)u=(ru)+(su)$, 
4.  ${}1u=u$. 

Ein kommutativer Ring ${}R$ selbst ist in natürlicher Weise ein ${}R$-Modul, wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert.

Beispiel

Es gibt zu jedem kommutativen Ring ${}R$ einen Modul, der nur aus einem Element besteht: Die triviale Gruppe mit der einzig möglichen Art diese als ${}R$-Modul aufzufassen. Man nennt ihn den Nullmodul.

Beispiel

Jede kommutative Gruppe ${}G$ ist auf natürliche Weise ein ${}\mathbb {Z}$-Modul.

Die Skalarmultiplikation ist folgendermaßen definiert:

$\mathbb {Z} \times G\longrightarrow G,\,(z,g)\longmapsto zg.$

Daher ist ein Erzeugendensystem von ${}G$ als Gruppe auch ein Erzeugendensystem von ${}G$ als ${}\mathbb {Z}$-Modul und umgekehrt.

Da jeder Modul als Grundmenge definitionsgemäß eine kommutative Gruppe besitzt und alle Vektorräume über Körpern insbesondere Moduln sind, zeigt uns dieses Beispiel unter Anderem, dass es im Allgemeinen viele Möglichkeiten gibt, eine gegebene Gruppe als Grundmenge eines Moduls zu interpretieren.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt ${}R^{n}$ ist in natürlicher Weise ein Modul. Er besteht aus den ${}n$-Tupeln von Elementen aus ${}R$:

$(r_{1},\ldots ,r_{n}).$

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

${}(a_{1},\ldots ,a_{n})+(b_{1},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})\,$

und

${}s(a_{1},\ldots ,a_{n})=(sa_{1},\ldots ,sa_{n})\,.$

Die Elemente der Form

${}e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\,$

mit der ${}1$ an der ${}i$-ten Stelle nennt man den ${}i$-ten Standardvektor.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I$ eine beliebige Menge. Wir betrachten die Menge der Abbildungen von ${}I$ nach ${}R$, also

${}M=\left\{\varphi \mid \varphi :I\rightarrow R{\text{ Abbildung}}\right\}\,.$

Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition, bei der also die Summe von zwei Abbildungen ${}\varphi$ und ${}\psi$ durch

${}(\varphi +\psi )(i):=\varphi (i)+\psi (i)\,$

für jedes  ${}i\in I$  erklärt wird, und mit der durch

${}(r\varphi )(i):=r\varphi (i)\,$

definierten Skalarmultiplikation ein ${}R$-Modul.

Definition

Es sei ${}R$ ein Ring und ${}I$ und ${}J$ zwei Indexmengen. Eine ${}I\times J$-Matrix ist eine Abbildung

$I\times J\longrightarrow R,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.$

Bei  ${}I=\{1,\ldots ,m\}$  und  ${}J=\{1,\ldots ,n\}$  spricht man von einer ${}m\times n$-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann gelten die folgenden Eigenschaften (dabei sei ${}v\in M$ und ${}s\in R$).

1. Es ist  ${}0v=0$. 
2. Es ist  ${}s0=0$. 
3. Es ist  ${}(-1)v=-v$. 

Beweis

1. Es ist

   ${}0v=(0+0)v=0v+0v\,.$

   Beidseitiges Abziehen von ${}0v$ ergibt  ${}0=0v$. 

2. Ähnlich wie (2).
3. Nach Teil (1) ist

   ${}0=0v=(1-1)v=v+(-1)v\,,$

   also sind ${}v$ und ${}(-1)v$ negativ zueinander.

$\Box$

Definition

Einen Modul ${}V$ über einem Körper ${}K$ nennt man einen ${}K$-Vektorraum.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M_{i},i\in I$, eine Familie von ${}R$-Moduln. Das Produkt

${}M=\prod _{i\in I}M_{i}=\left\{(x_{i})_{i\in I}\mid x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}\,$

der Moduln wird mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation zum ${}R$-Modul. Das bedeutet für ${}(x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}\in M$ und ${}r\in R$

${}(x_{i})_{i\in I}+(y_{i})_{i\in I}=(x_{i}+y_{i})_{i\in I}\,$

und

${}s(x_{i})_{i\in I}=(sx_{i})_{i\in I}\,.$

${}M$ heißt dann das direkte Produkt der ${}M_{i},i\in I$. Das ${}I$-fache direkte Produkt eines Moduls ${}M$ mit sich selbst wird als ${}M^{I}$ geschrieben.

Der Untermodul

$\bigoplus _{i\in I}M_{i}\subseteq \prod _{i\in I}M_{i},$

der aus allen ${}(x_{i})_{i\in I}$ besteht, für die ${}x_{i}=0$ für fast alle ${}i\in I$ ist, heißt direkte Summe der ${}M_{i}$.

Die ${}I$-fache direkte Summe eines Moduls ${}M$ mit sich selbst wird als ${}M^{(I)}$ geschrieben.

Lemma

Es sei ${}A$ eine ${}R$-Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann ist ${}A$ in natürlicher Weise ein ${}R$-Modul.

Beweis

Die additive Struktur von ${}A$ wird direkt übernommen. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ der zugehörige Ringhomomorphismus. Für  ${}r\in R$  und  ${}a\in A$  setzen wir

${}ra:=\varphi (r)a\,.$

Die Eigenschaften eines Ringhomomorphismus sichern, dass die Eigenschaften der Skalarmultiplikation eines Moduls erfüllt sind.

$\Box$

Matrizenmultiplikation

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}R$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gegeben sind.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}\operatorname {Mat} _{I}(R)$ der Matrizenring. Eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{I}(R)$ heißt invertierbar, falls es eine weitere Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{I}(R)$ gibt, mit

${}A\cdot B=B\cdot A=E_{n}\,.$

Untermoduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Teilmenge  ${}U\subseteq M$  heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes  ${}u\in U$  und  ${}r\in R$  auch  ${}ru\in U$  ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Es sei  ${}T\subseteq R$  eine Teilmenge der Grundmenge von ${}R$.

Dann ist ${}T$ genau dann ein Ideal von ${}R$, wenn ${}T$ ein Untermodul des ${}R$-Moduls ${}R$ ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus den Definitionen.

$\Box$

Die Ideale sind also genau die ${}R$-Untermoduln von ${}R$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a_{ij}\in R$  für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$. Dann nennt man

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel  ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in R^{n}$  heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn  ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$  für alle  ${}i=1,\ldots ,m$  ist.

Wenn  ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in R^{m}$  beliebig ist, so heißt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel  ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in R^{n}$  heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn  ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$  für alle ${}i$ ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}R$.

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein ${}R$-Untermodul des ${}R^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

Beweis

Wegen

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}0=0\,$

für alle  ${}i=1,\ldots ,m$  ist das Nulltupel ${}(0,\ldots ,0)$ eine Lösung. Es seien ${}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und${}\left(y_{1},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$ Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu  ${}s\in R$  ist dann für jedes ${}i$

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\left(sx_{j}\right)=s\cdot \left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)=s\cdot 0=0\,.$

Entsprechend ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\left(x_{j}+y_{j}\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left(a_{ij}x_{j}+a_{ij}y_{j}\right)\\&=\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)+\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)\\&=0+0\\&=0\end{aligned}}$

für alle ${}i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untermodul.

$\Box$

Erzeugendensysteme

Definition

Es sei ${}M$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${}R$ und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Elemente aus ${}M$. Dann heißt das Element

$s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in R$

eine Linearkombination dieser Elemente (zum Koeffiziententupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$).

Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt Erzeugendensystem für ${}M$, wenn es für jedes Element  ${}v\in M$  eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$

gibt, wobei  ${}J\subseteq I$  endlich ist und  ${}r_{i}\in R$. 

Im ${}R^{n}$ bilden die Standardvektoren ${}e_{i}$, ${}1\leq i\leq n$, ein Erzeugendensystem. Im Polynomring ${}R[X]$ über einem kommutativen Ring ${}R$ bilden die Potenzen ${}X^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ein (unendliches) Erzeugendensystem.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$ aus ${}M$ setzt man

$\langle v_{i},\,i\in I\rangle =\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in R,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}\,$

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untermodul.

Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum. Dieser wird ebenso von der ${}0$ erzeugt. Zu einem einzigen Vektor ${}v$ besteht der aufgespannte Modul aus  ${}Rv=\left\{sv\mid s\in K\right\}$,  er ist also zyklisch im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. ${}M$ heißt zyklisch, wenn ${}M$ von einem Element erzeugt wird, wenn also gilt ${}M=Rx$ für ein ${}x\in M$.

Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Untermoduln zusammen.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}U_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Untermoduln. Dann ist auch der Durchschnitt

   ${}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$

   ein Untermodul.

2. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Elementen in ${}M$ ist der erzeugte Untermodul ein Untermodul von ${}M$.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}M$, wenn

   ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =M\,$

   ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.1.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Zu einer Familie  ${}U_{i}\subseteq M$,   ${}i\in I$,  von ${}R$-Untermoduln definiert man die Summe dieser Untermoduln durch

${}\sum _{i\in I}U_{i}=\left\{\sum _{j\in J}u_{j}\mid u_{j}\in U_{j},\,J{\text{ endlich}}\right\}\,.$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei eine Familie  ${}U_{i}\subseteq M$,   ${}i\in I$,  von ${}R$-Untermoduln derart gegeben, dass die Summe dieser Untermoduln gleich ${}M$ ist. Zu jedem  ${}i\in I$  sei ${}v_{ij}$, ${}j\in J_{i}$ ein Erzeugendensystem von ${}U_{i}$.

Dann ist die Gesamtfamilie ${}v_{ij}$, ${}i\in I$, ${}j\in J_{i}$, ein Erzeugendensystem von ${}M$.

Beweis

Nach Voraussetzung kann man jeden Vektor  ${}v\in M$  als eine endliche Summe

${}v=\sum _{i\in I'}u_{i}\,$

mit  ${}u_{i}\in U_{i}$  schreiben. Da man die einzelnen Summanden mit den gegebenen Erzeugendensystemen ausdrücken kann, gilt dies auch für diese Summe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Dann bezeichnet man mit ${}\mu (M)$ die minimale Erzeugendenzahl von ${}M$.

Fußnoten

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