Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 19

Modulhomomorphismen

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei ${}R$- Moduln. Eine Abbildung ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ heißt ${}R$-(Modul-)homomorphismus, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in M$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in R$ und ${}v\in M$.

Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch lineare Abbildung genannt.

Ein bijektiver Modulhomomorphismus heißt (Modul-)isomorphismus.

Wenn ${}M=N$ ist, dann heißt ${}\varphi$ ein (Modul-)endomorphismus, oder linearer Operator, im bijektiven Fall auch (Modul-)automorphismus.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}U,V,W$ Moduln über ${}R$. Es seien

$\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W$

${}R$- Modulhomomorphismen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

ein Modulhomomorphismus.

Beweis

Für  ${}u_{1},u_{2}\in U$  ist

${}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(u_{1}+u_{2})&=\psi (\varphi (u_{1}+u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1})+\varphi (u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1}))+\psi (\varphi (u_{2}))\\&=(\psi \circ \varphi )(u_{1})+(\psi \circ \varphi )(u_{2})\end{aligned}}$

und für  ${}u\in U$,   ${}s\in R$  ist

${}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(su)&=\psi (\varphi (su))\\&=\psi (s\varphi (u))\\&=s\psi (\varphi (u))\\&=s(\psi \circ \varphi )(u),\end{aligned}}$

was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

ein bijektiver ${}R$- Modulhomomorphismus zwischen den ${}R$- Moduln ${}V$ und ${}W$.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

ein Modulhomomorphismus.

Beweis

Es seien  ${}w_{1},w_{2}\in W$.  Wegen der Bijektivität gibt es eindeutige  ${}v_{1},v_{2}\in V$  mit  ${}\varphi (v_{1})=w_{1}$  und  ${}\varphi (v_{2})=w_{2}$.  Somit ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(w_{1}+w_{2})&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2}))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1}+v_{2}))\\&=v_{1}+v_{2}\\&=\varphi ^{-1}(w_{1})+\varphi ^{-1}(w_{2}).\end{aligned}}$

Entsprechend ist (mit ${}s\in R$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(sw)&=\varphi ^{-1}(s\varphi (v))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (sv))\\&=sv\\&=s\varphi ^{-1}(w).\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei ${}R$- Moduln. Es sei ${}x_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}M$ und seien ${}y_{i}$, ${}i\in I$, Elemente aus ${}N$.

Dann gibt es höchstens einen ${}R$- Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$, für den

${}\varphi (x_{i})=y_{i}\,$

für alle  ${}i\in I$  gilt.

Beweis

Es sei ${}u\in M$ mit der Darstellung

$u=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}.$

Für einen Homomorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi (x_{i})=y_{i}$ für alle ${}i\in I$ gilt

$\varphi (u)=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}\right)}=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}\varphi (x_{i})=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}y_{i}.$

Dies legt ${}\varphi$ auf ganz ${}M$ fest.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ zwei ${}R$- Moduln und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Modulhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für einen ${}R$- Untermodul  ${}S\subseteq M$  ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untermodul von ${}N$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (M)$ der Abbildung ein Untermodul von ${}N$.
3. Für einen Untermodul ${}T\subseteq N$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untermodul von ${}M$.
4. Insbesondere ist der Kern ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untermodul von ${}M$.

Beweis

Siehe Aufgabe 19.1.

$\Box$

Definition

Zu einem Element  ${}f\in A$  einer ${}R$- Algebra ${}A$ nennt man die ${}R$- lineare Abbildung

$\mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,z\longmapsto fz,$

die Multiplikationsabbildung zu ${}f$.

Restklassenmoduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Es sei  ${}U\subseteq M$  ein ${}R$- Untermodul von ${}M$. Die kommutative Restklassengruppe ${}M/U$ trägt eine kanonische Modulstruktur, die durch

${}r\cdot [m]:=[r\cdot m]\,$

für  ${}r\in R$  und  ${}m\in M$  gegeben ist. Mit dieser Skalarmultiplikation versehen heißt ${}M/U$ der Restklassenmodul von ${}M$ nach ${}U$.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Moduln über ${}R$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ ein surjektiver Modulhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart, dass  ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$  ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\,\,\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Beweis

Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussage ergibt sich aus Satz 8.1 (Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)). Es ist also nur noch zu zeigen, dass der eindeutig bestimmte Gruppenhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich ist.
Es sei  ${}u\in Q$  mit einem Urbild  ${}v\in V$  und sei  ${}\lambda \in R$.  Dann ist ${}\lambda v$ ein Urbild von ${}\lambda u$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$

also ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ zwei ${}R$- Moduln und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Modulhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$M{\stackrel {q}{\longrightarrow }}M/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}N,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Modulisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 8.2 (Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)), dem entsprechenden Satz für Gruppen, weil jeder Modulhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus ist und weil die resultierenden Gruppenhomomorphismen ${}q$, ${}\theta$ und ${}\iota$ Modulhomomorphismen sind. Bei ${}q$ ist das so, weil es die kanonische Projektion ist; bei ${}\iota$ ist das so, weil es die Inklusion eines Untermoduls darstellt. Bei ${}\theta$ muss die selbe Eigenschaft dann zwingend gelten, da ansonsten niemals ${}\iota \circ \theta \circ q=\varphi$ gelten könnte.

$\Box$

Definition

Es sei ${}\varphi :M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus.

Der Restklassenmodul ${}N/{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}$ heißt Kokern von ${}\varphi$.

Modulhomomorphismen auf freien Moduln

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Es sei ${}V$ ein freier Modul und ${}W$ ein Modul über ${}R$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$

mit  ${}f(v_{i})=w_{i}$  für alle  ${}i\in I$. 

Beweis

Da  ${}f(v_{i})=w_{i}$  sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor  ${}v\in V$  sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W,$

indem wir jeden Vektor  ${}v\in V$  mit der gegebenen Basis als

${}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$

schreiben und

${}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 19.2.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Es sei ${}w_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen in ${}M$ und es sei

$\varphi \colon R^{(I)}\longrightarrow M,\,e_{i}\longmapsto w_{i},$

der zugehörige ${}R$- Modulhomomorphismus im Sinne von Satz 19.11. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. ${}\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn ${}w_{i}$, ${}i\in I$, linear unabhängig ist.
2. ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn ${}w_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}M$ ist.
3. ${}\varphi$ ist genau dann bijektiv, wenn ${}w_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}M$ ist.

Beweis

Modul/Elementfamilie/Lineare Abbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul, und seien  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in M$.  Zu jedem ${}k$ gebe es eine Linearform

$\varphi _{k}\colon M\longrightarrow R$

mit

$\varphi _{k}(v_{k})=1{\text{ und }}\varphi _{k}(v_{i})=0{\text{ für }}i\neq k.$

Dann sind die ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

Beweis

Wir betrachten die Gesamtabbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow R^{n},\,v\longmapsto \left(\varphi _{1}(v),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(v)\right).$

Unter dieser Abbildung wird der Vektor ${}v_{i}$ auf den Standardvektor ${}e_{i}$ im ${}R^{n}$ abgebildet. Da diese linear unabhängig sind, müssen auch die ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sein.

$\Box$

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