Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 20

Homomorphismen und Matrizen

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ , ${}N$ zwei endliche ${}R$ - Moduln mit den Erzeugendensystemen ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ .

Zu einem Modulhomomorphismus

\varphi \colon M\longrightarrow N

heißt eine

${}n\times m$ - Matrix

{}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,,

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$ -te Komponente von ${}\varphi (x_{j})$ bezüglich einer Darstellung ${}\varphi (x_{j})=a_{1j}y_{1}+\cdots +a_{nj}y_{n}$ im Erzeugendensystem ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ ist, eine beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Erzeugendensysteme.

Wenn zudem ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ linear unabhängig ist, also eine Basis ist, dann heißt zu einer Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\in \operatorname {Mat} _{n\times m}(R)$ der durch

x_{j}\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{ij}y_{i}

gemäß Satz 19.11 definierte Modulhomomorphismus ${}\varphi (M)$ der durch ${}M$ festgelegte Modulhomomorphismus.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V$ und ${}W$ endlich erzeugte freie Moduln über ${}R$ . Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von ${}W$ mit den zugehörigen Abbildungen

\Psi _{\mathfrak {v}}\colon R^{n}\longrightarrow V

und

\Psi _{\mathfrak {w}}\colon R^{m}\longrightarrow W.

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

ein ${}R$ - Modulhomomorphismus mit beschreibender Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ .

Dann ist

${}\varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\,,$

d.h. das Diagramm

${\begin{matrix}R^{n}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {v}}}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\R^{m}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {w}}}{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Zu einem Vektor ${}v\in V$ kann man ${}\varphi (v)$ ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu ${}v$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ bestimmt, darauf die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ anwendet und zu dem sich ergebenden ${}m$ -Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich ${}{\mathfrak {w}}$ berechnet.

Beweis

Endliche freie Moduln/Homomorphismus/Matrizen/Kommutatives Diagramm/Fakt/Beweis

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}V$ ein freier Modul mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein freier Modul mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Dann sind die in Definition 20.1 festgelegten Abbildungen

$\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$

invers zueinander.

Beweis

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ und betrachten die Matrix

M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)).

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar ${}(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist

{}{\begin{aligned}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M))(v_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}

Es sei nun ${}\varphi$ ein Modulhomomorphismus, und betrachten wir

\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )).

Zwei Modulhomomorphismen stimmen nach Lemma 19.4 überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ übereinstimmen. Es ist

{}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )))(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}\,w_{i}\,.

Dabei ist nach Definition der Koeffizient ${}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}$ die ${}i$ -te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ . Damit ist diese Summe gleich ${}\varphi (v_{j})$ .

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Satz

Bei der Korrespondenz zwischen Modulhomomorphismen zwischen freien Moduln und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von Homomorphismen und die Matrizenmultiplikation.

Damit ist folgendes gemeint: es seien ${}U,V,W$ freie ${}R$ - Moduln über einem kommutativen Ring ${}R$ mit Basen

{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.

Es seien

\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W

Modulhomomorphismen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von ${}\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$ die Beziehung

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi ))\,.

Beweis

Wir betrachten die Abbildungskette

U{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}W.

Bezüglich der Basen werde ${}\psi$ durch die ${}n\times p$ -Matrix ${}B=(b_{jk})_{jk}$ und ${}\varphi$ durch die ${}m\times n$ -Matrix ${}A=(a_{ij})_{ij}$ beschrieben. Die Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$ wirkt auf einen Basisvektor ${}u_{k}$ folgendermaßen.

{}{\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \psi \right)}{\left(u_{k}\right)}&=\varphi {\left(\psi {\left(u_{k}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}w_{i}.\end{aligned}}

Dabei sind diese Koeffizienten ${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ gerade die Einträge in der Produktmatrix ${}A\circ B$ .

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Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ endlich erzeugte freie Moduln über einem kommutativen Ring. Es seien ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {u}}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ Basen von ${}W$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

ein ${}R$ - Modulhomomorphismus, der bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {w}}$ durch die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde.

Dann wird ${}\varphi$ bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ durch die Matrix

$M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ (M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}$

beschrieben, wobei ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ und von ${}{\mathfrak {w}}$ nach ${}{\mathfrak {z}}$ beschreiben.

Beweis

Die linearen Standardabbildungen ${}R^{n}\rightarrow V$ bzw. ${}R^{m}\rightarrow W$ zu den Basen seien mit ${}\Psi _{\mathfrak {v}},\,\Psi _{\mathfrak {u}},\,\Psi _{\mathfrak {w}},\,\Psi _{\mathfrak {z}}$ bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}R^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&R^{m}\\&\searrow \Psi _{\mathfrak {v}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {w}}\swarrow \!\!\!\!\!&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\downarrow &&V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&&\,\,\,\,\downarrow M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\\&\nearrow \Psi _{\mathfrak {u}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {z}}\nwarrow \!\!\!\!\!&\\R^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&R^{m},\!\!\!\!\!\end{matrix}}

wobei die Kommutativität auf Lemma 18.17 und Lemma 20.2 beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt

{}{\begin{aligned}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )&=\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&=\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ (\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ \Psi _{\mathfrak {v}}^{-1})\circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&=(\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {w}})\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {u}})\\&=(\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {w}})\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (\Psi _{\mathfrak {u}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {v}})^{-1}\\&=M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.\end{aligned}}

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Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}V$ ein endlich erzeugter freier Modul über ${}R$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein Modulhomomorphismus. Es seien ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$ Basen von ${}V$ .

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${}{\mathfrak {u}}$ bzw. ${}{\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 20.5.

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei

\varphi \colon R^{n}\longrightarrow R^{m}

ein ${}R$ - Modulhomomorphismus, der bezüglich der Standardbasis durch die ${}m\times n$ - Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}\varphi$ ist bijektiv.

Die Matrix ist invertierbar.

Die Spalten der Matrix bilden eine Basis von ${}R^{m}$ .

Diese Eigenschaften können nur bei ${}m=n$ erfüllt sein.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) beruht auf Satz 20.4. Wenn ${}\varphi$ bijektiv ist mit der Umkehrfunktion ${}\psi$ , und wenn ${}N$ die Matrix zu ${}\psi$ bezeichnet, so sind ${}M\circ N$ und ${}N\circ M$ die Einheitsmatrix, da diese der Identität entspricht. Wenn umgekehrt ${}M$ eine inverse Matrix besitzt, so gehört zu ihr wiederum eine lineare Abbildung ${}\psi$ , die mit ${}\varphi$ verknüpft die Identität sein muss. Die Äquivalenz von (1) und (3) beruht auf Lemma 19.12 (3). Der Zusatz ergibt sich aus Satz 18.15.

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Die Spur

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}R$ . Dann heißt

{}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,

die Spur von ${}M$ .

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}V$ ein endlicher freier Modul über ${}R$ . Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Modulhomomorphismus, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von ${}\varphi$ , geschrieben ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)}$ .

Nach Aufgabe 20.1 ist dies unabhängig von der gewählten Basis.

Die Dimensionsformel

Die folgende Aussage heißt Dimensionsformel.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional.

Dann gilt

${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

Beweis

Es sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ . Es sei ${}U=\operatorname {kern} \varphi \subseteq V$ der Kern der Abbildung und ${}k=\dim _{K}{\left(U\right)}$ seine Dimension ( ${}k\leq n$ ). Es sei

u_{1},\ldots ,u_{k}

eine Basis von ${}U$ . Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren

v_{1},\ldots ,v_{n-k}

derart, dass

u_{1},\ldots ,u_{k},\,v_{1},\ldots ,v_{n-k}

eine Basis von ${}V$ ist. Wir behaupten, dass

w_{j}=\varphi (v_{j}),\,j=1,\ldots ,n-k,

eine Basis des Bildes ist. Es sei ${}w\in W$ ein Element des Bildes ${}\varphi (V)$ . Dann gibt es ein ${}v\in V$ mit ${}\varphi (v)=w$ . Dieses ${}v$ lässt sich mit der Basis als

{}v=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\,

schreiben. Dann ist

{}{\begin{aligned}w&=\varphi (v)\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi (u_{i})+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j},\end{aligned}}

sodass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}w_{j}$ schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der ${}w_{j}$ , ${}j=1,\ldots ,n-k$ , sei eine Darstellung der Null gegeben,

{}0=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j}\,.

Dann ist

{}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=0\,.

Also gehört ${}\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}$ zum Kern der Abbildung und daher kann man

{}\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}\,

schreiben. Da insgesamt eine Basis von ${}V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten ${}0$ sein müssen, also sind insbesondere ${}t_{j}=0$ .

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Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man

{}\operatorname {rang} \,\varphi :=\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,

den Rang von ${}\varphi$ .

Die Dimensionsformel kann man auch als

{}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\operatorname {rang} \,\varphi \,

ausdrücken.

Bemerkung

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung mit ${}V$ endlichdimensional. Die Dimensionsformel besitzt die folgenden Spezialfälle. Wenn ${}\varphi$ die Nullabbildung ist, so ist ${}\operatorname {kern} \varphi =V$ und

{}\operatorname {rang} \,\varphi =0\,.

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ und

{}\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(V\right)}\,.

Der Rang liegt stets zwischen ${}0$ und der Dimension des Ausgangsraumes ${}V$ . Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, so ist

{}\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(W\right)}\,

und

{}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(W\right)}\,.

Beispiel

Wir betrachten die durch die Matrix

{}M={\begin{pmatrix}0&1&1\\0&2&2\\1&3&4\\2&4&6\end{pmatrix}}\,

gegebene lineare Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y+z\\2y+2z\\x+3y+4z\\2x+4y+6z\end{pmatrix}}.

Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}y+z\\2y+2z\\x+3y+4z\\2x+4y+6z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,

lösen. Der Lösungsraum ist

{}L={\left\{s{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,

und dies ist der Kern von ${}\varphi$ . Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel gleich ${}2$ .

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der gleichen Dimension ${}n$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\varphi$ surjektiv ist.

Beweis

Dies folgt aus der Dimensionsformel und Lemma 5.12 (Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)) .

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Exaktheit

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge ${}M_{n}$ , ${}n\in \mathbb {Z}$ , von ${}R$ - Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismenzusatz1

d_{n}\colon M_{n+1}\longrightarrow M_{n}

mit der Eigenschaft

{}d_{n-1}\circ d_{n}=0\,

für alle ${}n\in \mathbb {Z}$ .

Dies bedeutet, dass an jeder Stelle

{}\operatorname {bild} d_{n}\subseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,

gilt.

Definition

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle ${}n$ , wenn

{}\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.

Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle

{}\operatorname {bild} d_{n}\supseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,

gilt.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M_{1},M_{2},M_{3}$ ${}R$ - Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{3}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$ -Moduln, wenn ${}M_{1}$ ein ${}R$ -Untermodul von ${}M_{2}$ ist, und wenn ${}M_{3}$ ein Restklassenmodul von ${}M_{2}$ ist, der isomorph zu ${}M_{2}/M_{1}$ ist.

Zu einem Untermodul ${}M_{1}\subseteq M_{2}$ gehört stets die kurze exakte Sequenz

0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M_{2}\longrightarrow M_{2}/M_{1}\longrightarrow 0.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und

0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$ -Moduln. Es sei ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler für ${}P$ .

Dann ist die Sequenz

$0\longrightarrow M/fM\longrightarrow N/fN\longrightarrow P/fP\longrightarrow 0$

ebenfalls exakt.

Beweis

Die Exaktheit von

M/fM\longrightarrow N/fN\longrightarrow P/fP\longrightarrow 0

ergibt sich wegen

{}M/fM=M\otimes _{R}R/(f)\,

(nach Proposition 32.7 (2)) aus der Rechtsexaktheit des Tensorproduktes (Proposition 32.4 (2)). Es ist also noch die Injektivität von ${}M/fM\rightarrow N/fN$ zu zeigen. Es sei hierzu ${}[m]\in M/fM$ vorgegeben mit der Eigenschaft, dass das Bild davon in ${}N/fN$ gleich ${}0$ ist. Das bedeutet