Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 25

Moduln von Homomorphismen

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$. Dann nennt man

${}\operatorname {Hom} _{R}\left(M,N\right)=\left\{f:M\rightarrow N\mid f{\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}\,$

den Homomorphismenmodul. Er wird versehen mit der Addition, die durch

${}(f+g)(m):=f(v)+g(m)\,$

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

${}(rf)(m):=r\cdot f(m)\,$

definiert wird.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Ein ${}R$-Modulhomomorphismus

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   mit einem weiteren Modul ${}L$ induziert einen Homomorphismus

   $\operatorname {Hom} _{R}\left(M,N\right)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}\left(L,N\right),\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

2. Ein Homomorphismus

   $\psi \colon N\longrightarrow T$

   mit einen Modul ${}T$ induziert einen Homomorphismus

   $\operatorname {Hom} _{R}\left(M,N\right)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}\left(M,T\right),\,f\longmapsto \psi \circ f.$

Beweis

Homomorphismenmodul/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper  ${}Q=Q(R)$.  Es seien ${}R$-Untermoduln  ${}I,J\subseteq Q$  gegeben,  ${}I\neq 0$. 

Dann gibt es einen natürlichen ${}R$-Modulisomorphismus

$\operatorname {Hom} _{R}\left(I,J\right)\longrightarrow \left\{f\in Q\mid f\cdot I\subseteq J\right\}$

Beweis

Ein  ${}f\in Q$  definiert den ${}R$-Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon Q\longrightarrow Q,\,x\longmapsto fx.$

Wenn  ${}f\cdot I\subseteq J$  ist, so kann man diesen Homomorphismus unmittelbar als einen Homomorphismus

$\mu _{f}\colon I\longrightarrow J$

auffassen. Die angegebene Menge rechts ist offenbar ein ${}R$-Untermodul. Für ${}f,g$ aus dieser Menge ist

${}\mu _{f+g}=\mu _{f}+\mu _{g}\,$

und für  ${}r\in R$  ist

${}\mu _{rf}=r\mu _{f}\,,$

wobei die zweiten Operationen jeweils die Operationen im Homomorphismenmodul bezeichnen. DIe natürliche Zuordnung von rechts nach links ist also ein Modulhomomorphismus. Wenn  ${}f\neq 0$  ist, so ist wegen  ${}I\neq 0$  die Abbildung ${}\mu _{f}$ auf ${}I$ nicht die Nullabbildung, und deshalb ist diese Zuordnung injektiv. Sei nun ein Homomorphismus

$\varphi \colon I\longrightarrow J$

gegeben. Dabei werde das nichttriviale Element  ${}x\in I$  auf  ${}z\in J$  abgebildet. Wir behaupten, dass Multiplikation mit ${}{\frac {z}{x}}$ vorliegt. Es sei  ${}y\in I$  ein weiteres Element. Es gibt  ${}r\in R$,   ${}r\neq 0$,  mit  ${}rx,ry\in R$.  Das Element ${}rxy$ wird somit auf  ${}ryz=ry\varphi (x)=rx\varphi (y)$  abgebildet, woraus

${}\varphi (y)=y{\frac {z}{x}}\,$

folgt.

$\Box$

Lemma

Für einem endlich erzeugten ${}R$-freien Modul ${}M$ vom Rang ${}n$ und einen beliebigen ${}R$-Modul ${}N$ über einem kommutativen Ring ${}R$

ist

${}\operatorname {Hom} _{R}\left(M,N\right)\cong N^{n}\,.$

Beweis

Es sei  ${}M\cong R^{n}$.  Die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} _{R}\left(R^{n},N\right)\longrightarrow N^{n},\,\varphi \longmapsto (\varphi (e_{1}),\ldots ,\varphi (e_{n})),$

ist ein injektiver ${}R$-Modulhomomorphismus, der nach Satz 19.11 auch surjektiv ist.

$\Box$

Satz

Für einen endlich erzeugten freien ${}R$-Modul ${}M$ und einen freien Modul ${}F$ über einem kommutativen Ring ${}R$

ist der Homomorphismenmodul ${}\operatorname {Hom} _{R}\left(M,N\right)$ frei.

Beweis

Nach Lemma 25.4 ist

${}\operatorname {Hom} _{R}\left(R^{n},F\right)\cong \bigoplus _{i=1}^{n}\operatorname {Hom} _{R}\left(R,F\right)\cong \bigoplus _{i=1}^{n}F\,,$

was nach Lemma 18.13 frei ist.

$\Box$

Korollar

Endliche freie Moduln/Homomorphismenmodul/Matrizen/Fakt

Beweis

Endliche freie Moduln/Homomorphismenmodul/Matrizen/Fakt/Beweis

$\Box$

Dualer Modul

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Der ${}R$-Modul

${}{M}^{*}=\operatorname {Hom} _{R}\left(M,R\right)\,$

heißt der duale Modul zu ${}M$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}V$ ein endlicher freier ${}R$-Modul mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann nennt man die Linearformen

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,,$

die durch

${}v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,$

festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter freier ${}R$-Modul.

Dann ist auch der duale Modul ${}{M}^{*}$ frei mit dem gleichen Rang.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 25.4.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper  ${}Q=Q(R)$.  Es sei  ${}I\subseteq Q$  ein ${}R$-Untermodul,  ${}I\neq 0$. 

Dann gibt es einen natürlichen ${}R$-Modulisomorphismus

${I}^{*}\longrightarrow \left\{f\in Q\mid f\cdot I\subseteq R\right\}$

Beweis

Nach Lemma 25.3 gibt es einen natürlichen Isomorphismus

${}\operatorname {Hom} _{R}\left(I,R\right)\cong \left\{f\in Q\mid f\cdot I\subseteq R\right\}\,,$

und dies ist die Behauptung.

$\Box$

Reflexive Moduln

Definition

Zu einem ${}R$-Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man

${\left({M}^{*}\right)}^{*}$

das Bidual von ${}M$.

Lemma

Zu einem ${}R$-Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$

gibt es einen kanonischen ${}R$-Modulhomomorphismus

$M\longrightarrow {\left({M}^{*}\right)}^{*},\,v\longmapsto \left(\varphi \mapsto \varphi (v)\right),$

in das Bidual des Moduls.

Beweis

Modul/Kanonische Abbildung ins Bidual/Fakt/Beweis

$\Box$

Definition

Ein ${}R$-Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ heißt reflexiv, wenn die kanonische Abbildung ${}M\rightarrow {\left({M}^{*}\right)}^{*}$ bijektiv ist.

Lemma

Ein endlich erzeugter freier ${}R$-Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$

ist reflexiv.

Beweis

Wir setzen  ${}M=R^{n}$  mit der Standardbasis als Basis. Der duale Modul besitzt die Dualbasis ${}e_{j}^{*}$. Unter der kanonischen Abbildung werden die Standardbasiselemente ${}e_{i}$ auf die Linearform abgebildet, die durch ${}e_{j}^{*}\mapsto e_{j}^{*}(e_{i})$ gegeben ist. Dies ist wiederum die Dualbasis zu ${}e_{j}^{*}$ von ${}{{R^{n}}^{*}}^{*}$. Also wird eine Basis auf eine Basis abgebildet, daher liegt ein Isomorphismus vor.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}R=K[X,Y]/(XY)\,.$

Es sei  ${}I=(X)$  das von ${}X$ erzeugte Hauptideal. Dabei liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(Y)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor, da ${}(Y)$ der Annullator von ${}I$ ist. Es ist

${}{I}^{*}=\operatorname {Hom} _{R}\left(I,R\right)=\left\{f:R\rightarrow R\mid f(Y)=0\right\}\cong R/(Y)\,.$

Dies bedeutet, dass

${}I\cong R/(Y)\,$

isomorph zu seinem dualen Modul und insbesondere reflexiv ist. Dieser Modul ist nicht frei, da er im maximalen Ideal ${}(X,Y)$ nicht isomorph zu ${}R$ ist.

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