Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 29

Direkter Summand

Definition

Es sei  ${}R\subseteq S$  ein Unterring eines kommutativen Ringes ${}S$. Man sagt, dass ${}R$ ein direkter Summand von ${}S$ ist, wenn es einen ${}R$- Modul ${}M$ gibt mit  ${}S\cong R\oplus M$  (es liegt also ein ${}R$- Modulisomorphismus vor).

Diese Eigenschaft ist äquivalent dazu, dass es einen ${}R$- Modulhomomorphismus

$\psi \colon S\longrightarrow R$

mit  ${}\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R}$  gibt, wobei ${}\iota \colon R\rightarrow S$ die Inklusion bezeichnet. Der direkte Summand ${}M$ ist der Kern von ${}\psi$. Eine stärkere Eigenschaft ist die Existenz eines Ringhomomorphismus

$\psi \colon S\longrightarrow R$

mit  ${}\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R}$. 

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine von ${}0$ verschiedene ${}K$- Algebra. Dann ist ${}K$ ein direkter Summand von ${}A$. Dies beruht darauf, dass man die ${}1$ zu einer ${}K$- Basis von ${}A$ ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen erzeugten ${}K$- Untervektorraum  ${}V\subset A$  ist dann  ${}A\cong K\cdot 1\oplus V$.  Im Allgemeinen muss es aber keinen ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}A\rightarrow K$ geben. Bei einer (nichttrivialen) Körpererweiterung  ${}K\subset L$  gibt es keinen Ringhomomorphismus von ${}L$ nach ${}K$.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal und ${}M$ ein ${}R$- Modul, der von ${}n$ Elementen erzeugt werde. Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus mit

${}\varphi (M)\subseteq {\mathfrak {a}}M\,.$

Dann gibt es ein normiertes Polynom

${}P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}\,$

vom Grad ${}n$ und mit  ${}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$  und mit  ${}P(\varphi )=0$. 

Beweis

Es seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von ${}M$. Dann ist insbesondere ${}\varphi (y_{i})$ für jedes ${}i$ eine ${}R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$, wobei die Koeffizienten sogar aus dem Ideal sind. Dies bedeutet

${}\varphi (y_{i})=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$

mit ${}r_{ij}\in {\mathfrak {a}}$. Wir fassen den ${}R$-Modul ${}M$ zusammen mit dem Endomorpphismus ${}\varphi$ als ein ${}R[X]$-Modul auf, wobei die Variable ${}X$ wie der Endomorphismusoperiere, d.h. es ist für ein beliebiges Polynom ${}F\in R[X]$ und  ${}y\in M$ 

${}Fy=F(\varphi )(y)\,.$

Somit können wir die obigen Einzelgleichungen als eine Matrixgleichung schreiben, nämlich

${}X{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&.&.&r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&.&.&r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\r_{n,1}&r_{n,2}&.&.&r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dies schreiben wir als

${}0={\begin{pmatrix}X-r_{1,1}&-r_{1,2}&.&.&-r_{1,n}\\-r_{2,1}&X-r_{2,2}&.&.&-r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\-r_{n,1}&-r_{n,2}&.&.&X-r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Nennen wir diese Matrix ${}A$ (die Einträge sind aus ${}R[X]$), und sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt  ${}A^{\operatorname {adj} }Ay=0$  (${}y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist  ${}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$,  also gilt  ${}((\det A)E_{n})y=0$.  Es ist also  ${}(\det A)y_{j}=0$  für alle ${}j$ und damit

${}(\det A)z=0\,$

für alle ${}z\in M$. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in ${}X$ vom Grad ${}n$, und die Gleichheit bedeutet

${}(\det A(\varphi ))z=0\,$

für alle ${}z\in M$, also ist

${}(\det A(\varphi ))=0\,$

als Abbildungen. Die Zugehörigkeiten zu den Idealpotenzen ergeben sich aus der expliziten Beschreibung der Determinante.

$\Box$

Das Lemma von Nakayama

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei  ${}{\mathfrak {a}}V=V$  vorausgesetzt.

Dann gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ derart, dass  ${}(1-f)V=0$. 

Beweis

Wir wenden Satz 29.3 auf die Identität auf ${}M$ an. Mit dem dort gewonnenen Polynom  ${}P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}$  (mit ${}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$) ist dann

${}0=P(\operatorname {Id} )M={\left(\operatorname {Id} +{\left(a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}\operatorname {Id} \right)}M={\left(1+a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}M\,,$

wobei die Summe ohne die ${}1$ zum Ideal gehört.

$\Box$

Als Spezialfall ergibt sich im lokalen Fall das Lemma von Nakayama. Wir geben noch einen zusätzlichen Beweis.

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei  ${}{\mathfrak {m}}V=V$  vorausgesetzt.

Dann ist  ${}V=0$. 

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$. Nach Voraussetzung gibt es wegen  ${}v_{i}\in {\mathfrak {m}}V$  zu jedem ${}v_{i}$ eine Darstellung

${}v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,$

mit  ${}a_{ij}\in {\mathfrak {m}}$.  Daraus ergibt sich für jedes ${}i$ eine Darstellung

${}(1-a_{ii})v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{i,i-1}v_{i-1}+a_{i,i+1}v_{i+1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,.$

Da  ${}a_{ii}\in {\mathfrak {m}}$  ist, ist der Koeffizient ${}1-a_{ii}$ eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach ${}v_{i}$ auflösen kann, sodass also ${}v_{i}$ überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul und  ${}U\subseteq V$  ein Untermodul. Es gelte  ${}U+{\mathfrak {m}}V=V$. 

Dann ist  ${}U=V$. 

Beweis

Im Restklassenmodul ${}V/U$ gilt  ${}V/U={\mathfrak {m}}{\left(V/U\right)}$.  Aus Lemma 29.5 folgt  ${}V/U=0$,  also  ${}U=V$. 

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}W$ ein ${}R$- Modul und  ${}U,V\subseteq W$  endlich erzeugte Untermoduln. Es gelte  ${}U\subseteq V+{\mathfrak {m}}U$. 

Dann ist  ${}U\subseteq V$. 

Beweis

Wir betrachten den Untermodul

${}U'=U+V\,.$

Dabei gilt

${}U'=U+V=V+{\mathfrak {m}}U=V+{\mathfrak {m}}U'\,.$

Aus Korollar 29.6 ergibt sich  ${}U+V=V$,  also  ${}U\subseteq V$. 

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring, seien ${}U,V$ endlich erzeugte ${}R$- Moduln und sei ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ ein Modulhomomorphismus. Wenn der induzierte ${}R/{\mathfrak {m}}$-Homomorphismus

$U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V$

surjektiv ist,

so ist bereits ${}\varphi$ surjektiv.

Beweis

Es sei  ${}W\subseteq V$  der Bildmodul, der Homomorphismus faktorisiert

$U\longrightarrow W\longrightarrow V.$

Dazu gehören die ${}R/{\mathfrak {m}}$- Modulhomomorphismen

$U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow W/{\mathfrak {m}}W\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V.$

Nach Voraussetzung ist die Gesamtabbildung surjektiv, also ist auch die hintere Abbildung surjektiv. Dies bedeutet

${}V={\mathfrak {m}}V+W\,,$

woraus mit Korollar 29.6  ${}W=V$  folgt. Dies bedeutet die Surjektivität der Ausgangsabbildung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl ${}\mu (V)$ mit der Dimension des ${}K$- Vektorraums ${}V/{\mathfrak {m}}V$ überein.

Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  genau dann ein ${}R$-Erzeugendensystem für ${}V$ bilden, wenn deren Restklassen in ${}V/{\mathfrak {m}}V$ ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von ${}V/{\mathfrak {m}}V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  gegeben, die modulo ${}{\mathfrak {m}}$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei  ${}U\subseteq V$  der von den ${}v_{i}$ erzeugte ${}R$-Untermodul von ${}V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu  ${}V=U+{\mathfrak {m}}V$.  Wir betrachten den Restklassenmodul ${}V/U$. Dort gilt dann  ${}(V/U){\mathfrak {m}}=V/U$,  woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit  ${}V/U=0$  und  ${}V=U$  folgt.

$\Box$

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