Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 30

Die Multiplikationsabbildung

Zu einer ${}R$- Algebra ${}A$ definiert jedes Element ${}f\in A$ einen ${}R$- Modulhomomorphismus ${}A\longrightarrow A$, ${}x\longmapsto fx$, die Multiplikationsabbildung. In der folgenden Aussage wird zu einem ${}R$- Modul ${}M$ mit ${}\operatorname {End} _{R}\,(M)$ der (nichtkommutative) Ring bezeichnet, der aus allen ${}R$-linearen Abbildungen besteht und wobei die Multiplikation durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. De folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von Lemma 3.6.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine ${}R$- Algebra.

Dann ist die Abbildung

$A\longrightarrow \operatorname {End} _{R}\,(A),\,f\longmapsto \mu _{f},$

ein injektiver Ringhomomorphismus.

Beweis

Dies beruht auf dem Distributivgesetz von ${}A$ und auf

${}{\left(\mu _{f}\circ \mu _{g}\right)}(z)=\mu _{f}{\left(\mu _{g}(z)\right)}=\mu _{f}{\left(gz\right)}=fgz=\mu _{fg}(z)\,.$

Die Injektivität ergibt sich aus ${}\mu _{f}(1)=f$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und

$A\longrightarrow \operatorname {End} _{R}\,(A),\,f\longmapsto \mu _{f},$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist eine Einheit in ${}A$.
2. ${}\mu _{f}$ ist eine Einheit in ${}\operatorname {End} _{R}\,(A)$.
3. ${}\mu _{f}$ ist bijektiv.
4. ${}\mu _{f}$ ist surjektiv.

Beweis

Dies beruht auf Lemma 3.7, Lemma 19.3 und darauf, dass im surjektiven Fall die ${}1$ zum Bild gehört.

$\Box$

Wenn ${}A$ eine endlich erzeugte freie ${}R$-Algebra ist, ihre additive Struktur also die Form ${}A=R^{n}$ besitzt, so wird dieser Multiplikationshomomorphismus bezüglich einer ${}R$- Basis von ${}A$ durch eine ${}n\times n$-Matrix beschrieben, die die Multiplikationsmatrix (zu ${}f$ bezüglich dieser Basis) heißt. In diesem Fall kann man Konzepte der Matrixtheorie der linearen Algebra auf diese Multiplikationsabbildung anwenden. Diese Situation liegt automatisch bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ oder einer endlichen Algebra ${}A$ über einem Körper vor, aber auch ein Zahlbereich ist stets nach Fakt ***** eine freie ${}\mathbb {Z}$-Algebra. Aber auch wenn ${}R\subseteq A$ Integritätsbereiche sind mit ${}A$ endlich erzeugt als ${}R$- Modul, so kann man auch im nichtfreien Fall über die Quotientenkörper die folgenden Konzepte anwenden.

Für ${}f\in R$ liegt bezüglich einer beliebigen Basis die Streckungsmatrix

${\begin{pmatrix}f&0&0&\ldots &0\\0&f&0&\ldots &0\\0&0&f&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&f\end{pmatrix}}$

vor, für beliebige Elemente ${}f\in A$ werden die Matrizen ziemlich kompliziert, was man teilweise durch Wahl einer geeigneten Basis korrigieren kann. Insbesondere sind Konzepte relevant, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}F=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\in R[X]$ ein normiertes Polynom. Es sei

${}R\subseteq R[X]/{\left(X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}=:A\,$

die zugehörige endliche freie ${}R$- Algebra. Nach Lemma 18.22 bilden die Potenzen ${}x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichnet) eine ${}R$- Basis von ${}A$. Zu einem ${}g\in A$ wird die Multiplikationsabbildung

$\mu _{g}\colon A\longrightarrow A,\,y\longmapsto gy,$

bezüglich der gegebenen Basis durch die ${}n\times n$- Matrix beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten ${}g\cdot x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, bezüglich der Basis besteht. Wegen ${}x^{0}=1$ stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von ${}g$ selbst. Zu ${}x$ ist diese Matrix gleich

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&-a_{0}\\1&0&\ldots &0&-a_{1}\\0&1&\ldots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Zu einem beliebigen Element

${}g=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\,$

wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an

${\begin{pmatrix}b_{0}&-a_{0}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{1}&b_{0}-a_{1}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{2}&b_{1}-a_{2}b_{n-1}&\ldots &*&*\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{n-1}&b_{n-2}-a_{n-1}b_{n-1}&\ldots &*&*\end{pmatrix}}.$

Die Spur bei einer endlichen freien Algebra

Über diese Konstruktion bzw. Zuordnung werden Norm und Spur von ${}f$ erklärt.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$- Algebra. Zu einem Element ${}f\in S$ nennt man die Spur des ${}R$- Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R\subseteq A$ eine endliche freie Algebra vom Rang ${}n$. Dann hat die Spur

$S\colon A\longrightarrow R,\,f\longmapsto S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist ${}R$- linear, also ${}S(f+g)=S(f)+S(g)$ und ${}S(\lambda f)=\lambda S(f)$ für ${}\lambda \in R$.
2. Für ${}f\in R$ ist ${}S(f)=nf$.

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$- Algebra. Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ eine ${}R$- Basis von ${}S$ mit der Dualbasis ${}x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}$.

Dann gilt für die Spur zu ${}f\in S$ die Beziehung

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}(x_{i}f)\,.$

Beweis

Wir setzen

${}fx_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}\,,$

die Multiplikationsmatrix zu ${}f$ ist also ${}{\left(c_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Dann ist direkt

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}(fx_{i})\,.$

$\Box$

Die Norm bei einer endlichen freien Algebra

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$- Algebra. Zu einem Element ${}f\in S$ nennt man die Determinante des ${}R$- Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Beispiel

Es sei ${}K\subseteq L=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer ${}n$-ten Wurzel aus einem Element ${}a\in K$ entstehe. Es sei ${}x$ die Restklasse von ${}X$. Dann wird ${}\mu _{x}$ bezüglich der ${}K$- Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von ${}L$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&a\\1&0&\ldots &0&0\\0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$

beschrieben. Somit ist die Norm von ${}x$ gleich ${}\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob ${}n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist ${}0$.

Lemma

Es sei ${}R\subseteq A$ eine endliche freie Algebra vom Rang ${}n$. Dann hat die Norm

$N\colon A\longrightarrow R,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}N(fg)=N(f)N(g)$.
2. Für ${}f\in R$ ist ${}N(f)=f^{n}$.
3. ${}f$ ist genau dann eine Einheit, wenn ${}N(f)$ eine Einheit ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Lemma 30.1.
2. Zu einer beliebigen Basis von ${}A$ wird die Multiplikation mit einen Element ${}f\in R$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Lemma 21.4.
3. Dies beruht auf Lemma 30.2 und auf Korollar 22.14.

$\Box$

Norm und Spur sind Elemente aus ${}R$.

Weitere Beschreibungen des Minimalpolynoms und der Norm und der Spur finden sich in Fakt ***** und Fakt *****.

Das Minimalpolynom

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}R$, wenn es ein von null verschiedenes Polynom ${}P\in R[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Wenn ein Polynom ${}P\neq 0$ das algebraische Element ${}f\in A$ annulliert (also ${}P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Wenn ${}f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.

Beispiel

Bei einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ sind die Elemente ${}a\in K$ trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils ${}X-a\in K[X]$ das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über ${}K=\mathbb {Q}$ die komplexen Zahlen ${}{\sqrt {2}},{\mathrm {i} },3^{1/5}$, etc. Annullierende Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ sind dafür ${}X^{2}-2$, ${}X^{2}+1$, ${}X^{5}-3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise ${}X-{\sqrt {2}}$ zwar ein annullierendes Polynom für ${}{\sqrt {2}}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu ${}\mathbb {Q}$ gehören.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ eine ${}K$- Algebra und ${}f\in A$ ein Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ über ${}K$.

Dann ist der Kern des kanonischen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f,$

das von ${}P$ erzeugte Hauptideal.

Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f.$

Dessen Kern ist nach Lemma 4.6 ein Ideal und nach Korollar 5.17 ein Hauptideal, sagen wir ${}{\mathfrak {a}}=(F)$, wobei wir ${}F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom ${}P$ gehört zu ${}{\mathfrak {a}}$. Andererseits ist der Grad von ${}F$ größer oder gleich dem Grad von ${}P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist ${}P=F$, da beide normiert sind.

$\Box$

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