Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 30

Die Multiplikationsabbildung

Zu einer $R$-Algebra $A$ definiert jedes Element  $f\in A$  einen $R$-Modulhomomorphismus $A⟶A$, $x⟼fx$, die Multiplikationsabbildung. In der folgenden Aussage wird zu einem $R$-Modul $M$ mit ${\mathrm{End}}_R(M)$ der (nichtkommutative) Ring bezeichnet, der aus allen $R$-linearen Abbildungen besteht und wobei die Multiplikation durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. De folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von Lemma 3.6.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine $R$-Algebra.

Dann ist die Abbildung

$A⟶{\mathrm{End}}_R(A),f⟼{\mu }_f,$

ein injektiver Ringhomomorphismus.

Beweis

Dies beruht auf dem Distributivgesetz von $A$ und auf

$({\mu }_f\circ {\mu }_g)(z)={\mu }_f({\mu }_g(z))={\mu }_f\left(gz\right)=fgz={\mu }_{fg}(z).$

Die Injektivität ergibt sich aus  ${\mu }_f(1)=f$. 

$◻$

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und

$A⟶{\mathrm{End}}_R(A),f⟼{\mu }_f,$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $f$ ist eine Einheit in $A$.
2. ${\mu }_f$ ist eine Einheit in ${\mathrm{End}}_R(A)$.
3. ${\mu }_f$ ist bijektiv.
4. ${\mu }_f$ ist surjektiv.

Beweis

Dies beruht auf Lemma 3.7, Lemma 19.3 und darauf, dass im surjektiven Fall die $1$ zum Bild gehört.

$◻$

Wenn $A$ eine endlich erzeugte freie $R$-Algebra ist, ihre additive Struktur also die Form  $A=R^n$  besitzt, so wird dieser Multiplikationshomomorphismus bezüglich einer $R$-Basis von $A$ durch eine $n\times n$-Matrix beschrieben, die die Multiplikationsmatrix (zu $f$ bezüglich dieser Basis) heißt. In diesem Fall kann man Konzepte der Matrixtheorie der linearen Algebra auf diese Multiplikationsabbildung anwenden. Diese Situation liegt automatisch bei einer endlichen Körpererweiterung  $K\subseteq L$  oder einer endlichen Algebra $A$ über einem Körper vor, aber auch ein Zahlbereich ist stets nach Fakt ***** eine freie $\mathbb{Z}$-Algebra. Aber auch wenn  $R\subseteq A$  Integritätsbereiche sind mit $A$ endlich erzeugt als $R$-Modul, so kann man auch im nichtfreien Fall über die Quotientenkörper die folgenden Konzepte anwenden.

Für  $f\in R$  liegt bezüglich einer beliebigen Basis die Streckungsmatrix

$\left(\begin{array}{ccccc}f& 0& 0& \dots & 0\\ 0& f& 0& \dots & 0\\ 0& 0& f& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& f\end{array}\right)$

vor, für beliebige Elemente  $f\in A$  werden die Matrizen ziemlich kompliziert, was man teilweise durch Wahl einer geeigneten Basis korrigieren kann. Insbesondere sind Konzepte relevant, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $F=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0\in R[X]$  ein normiertes Polynom. Es sei

$R\subseteq R[X]/(X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0)=:A$

die zugehörige endliche freie $R$-Algebra. Nach Lemma 18.22 bilden die Potenzen $x^i$, $0\le i\le n-1$, (wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichnet) eine $R$-Basis von $A$. Zu einem  $g\in A$  wird die Multiplikationsabbildung

${\mu }_g:A⟶A,y⟼gy,$

bezüglich der gegebenen Basis durch die $n\times n$-Matrix beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten $g\cdot x^i$, $0\le i\le n-1$, bezüglich der Basis besteht. Wegen  $x^0=1$  stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von $g$ selbst. Zu $x$ ist diese Matrix gleich

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -a_0\\ 1& 0& \dots & 0& -a_1\\ 0& 1& \dots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right)$

beschrieben. Zu einem beliebigen Element

$g=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots +b_{n-1}{x}^{n-1}$

wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an

$\left(\begin{array}{ccccc}{b}_0& -a_0{b}_{n-1}& \dots & \ast & \ast \\ b_1& b_0-a_1{b}_{n-1}& \dots & \ast & \ast \\ b_2& b_1-a_2{b}_{n-1}& \dots & \ast & \ast \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ b_{n-1}& b_{n-2}-a_{n-1}{b}_{n-1}& \dots & \ast & \ast \end{array}\right).$

Die Spur bei einer endlichen freien Algebra

Über diese Konstruktion bzw. Zuordnung werden Norm und Spur von $f$ erklärt.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ eine kommutative endliche freie $R$-Algebra. Zu einem Element  $f\in S$  nennt man die Spur des $R$-Modulhomomorphismus

${\mu }_f:S⟶S,y⟼fy,$

die Spur von $f$. Sie wird mit $\mathrm{Spur}\left(f\right)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei  $R\subseteq A$  eine endliche freie Algebra vom Rang $n$. Dann hat die Spur

$S:A⟶R,f⟼S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist $R$-linear, also  $S(f+g)=S(f)+S(g)$  und  $S(\lambda f)=\lambda S(f)$  für  $\lambda \in R$. 
2. Für  $f\in R$  ist  $S(f)=nf$. 

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$◻$

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ eine kommutative endliche freie $R$-Algebra. Es sei $x_1,\dots ,x_n$ eine $R$-Basis von $S$ mit der Dualbasis $x_1^{\ast },\dots ,x_n^{\ast }$.

Dann gilt für die Spur zu  $f\in S$  die Beziehung

$\mathrm{Spur}\left(f\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i^{\ast }(x_{i}f).$

Beweis

Wir setzen

$f{x}_j=\sum _{i=1}^n{c}_{ij}{x}_i,$

die Multiplikationsmatrix zu $f$ ist also ${\left(c_{ij}\right)}_{1\le i,j\le n}$. Dann ist direkt

$\mathrm{Spur}\left(f\right)=\sum _{i=1}^n{c}_{ii}=\sum _{i=1}^n{x}_i^{\ast }(f{x}_i).$

$◻$

Die Norm bei einer endlichen freien Algebra

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ eine kommutative endliche freie $R$-Algebra. Zu einem Element  $f\in S$  nennt man die Determinante des $R$-Modulhomomorphismus

${\mu }_f:S⟶S,y⟼fy,$

die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.

Beispiel

Es sei  $K\subseteq L=K[X]/(X^n-a)$  eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer $n$-ten Wurzel aus einem Element $a\in K$ entstehe. Es sei $x$ die Restklasse von $X$. Dann wird ${\mu }_x$ bezüglich der $K$-Basis $1,x,x^2,\dots ,x^{n-1}$ von $L$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& a\\ 1& 0& \dots & 0& 0\\ 0& 1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& 0\end{array}\right)$

beschrieben. Somit ist die Norm von $x$ gleich $\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob $n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist $0$.

Lemma

Es sei  $R\subseteq A$  eine endliche freie Algebra vom Rang $n$. Dann hat die Norm

$N:A⟶R,f⟼N(f),$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist  $N(fg)=N(f)N(g)$. 
2. Für  $f\in R$  ist  $N(f)=f^n$. 
3. $f$ ist genau dann eine Einheit, wenn $N(f)$ eine Einheit ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Lemma 30.1.
2. Zu einer beliebigen Basis von $A$ wird die Multiplikation mit einen Element  $f\in R$  durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^n$ nach Lemma 21.4.
3. Dies beruht auf Lemma 30.2 und auf Korollar 22.14.

$◻$

Norm und Spur sind Elemente aus $R$.

Weitere Beschreibungen des Minimalpolynoms und der Norm und der Spur finden sich in Fakt ***** und Fakt *****.

Das Minimalpolynom

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Es sei  $f\in A$  ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $R$, wenn es ein von null verschiedenes Polynom  $P\in R[X]$  mit  $P(f)=0$  gibt.

Wenn ein Polynom  $P\ne 0$  das algebraische Element  $f\in A$  annulliert (also $P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei  $f\in A$  ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom  $P\in K[X]$  mit  $P(f)=0$,  welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von $f$.

Wenn $f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.

Beispiel

Bei einer Körpererweiterung  $K\subseteq L$  sind die Elemente  $a\in K$  trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils  $X-a\in K[X]$  das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über  $K=\mathbb{Q}$  die komplexen Zahlen $\sqrt{2},\mathrm{i},3^{1/5}$, etc. Annullierende Polynome aus $\mathbb{Q}[X]$ sind dafür $X^2-2$, $X^2+1$, $X^5-3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise $X-\sqrt{2}$ zwar ein annullierendes Polynom für $\sqrt{2}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu $\mathbb{Q}$ gehören.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $A$ eine $K$-Algebra und  $f\in A$  ein Element. Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$ über $K$.

Dann ist der Kern des kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus

$K[X]⟶A,X⟼f,$

das von $P$ erzeugte Hauptideal.

Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

$K[X]⟶A,X⟼f.$

Dessen Kern ist nach Lemma 4.6 ein Ideal und nach Korollar 5.17 ein Hauptideal, sagen wir  $𝔞=(F)$,  wobei wir $F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom $P$ gehört zu $𝔞$. Andererseits ist der Grad von $F$ größer oder gleich dem Grad von $P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist  $P=F$,  da beide normiert sind.

$◻$

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