Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Teiltest/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 1 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Übergangsmatrix} {}
zum Basiswechsel von einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer weiteren Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ = }{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Dualraum} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$.
}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mathl{c_{ij} \in K}{.} Dann nennt man die
\mathl{n \times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} {(c_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$.
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\varphi(u+v)= \varphi(u) + \varphi(v)}{} für alle
\mathl{u,v \in V}{.}
} {
\mathl{\varphi(s v)=s \varphi(v)}{} für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in V} {.}
}
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} {{ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Kern von $\varphi$.
}{Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} sei $M_i$ diejenige
\mathl{(n-1)\times (n-1)}{-}Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
\mathdisp {\det M = \begin{cases} a_{11}\, , & \text{falls } n = 1 \, , \\ \sum_{i =1}^n(-1)^{i+1} a_{i1} \det M_i & \text{ für } n \geq 2 \, . \end{cases}} { }
}{Ein Element
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt ein Eigenvektor von $\varphi$,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} { \lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen
\mathl{\lambda \in K}{} gilt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die
\stichwort {Dimension der Homomorphismenräume} {.}}{Die
\stichwort {Leibniz-Formel} {}
für die Determinante.}{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit den Dimensionen
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Hom} { \left( V, W \right) } \right) }
}
{ =} { nm
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Für die Determinante einer $n \times n$-Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {(a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \sum_{ \pi \in S_{n } } \operatorname{sgn}( \pi ) a_{1 \pi (1)} \cdots a_{ n \pi ( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es seien
\mathl{P,T \in K[X]}{} zwei Polynome mit
\mathl{T \neq 0}{.} Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
\mathl{Q,R \in K[X]}{} mit
\mathdisp {P = T Q + R \text{ und mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R = 0} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n b_{kj} w_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { (a_{ji})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { (b_{kj})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{u_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} { \left( \sum_{k = 1}^n b_{kj} w_k \right) }
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n { \left( \sum_{j = 1}^n b_{kj} a_{ji} \right) } w_k
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der Koeffizient vor $w_k$ ist dabei das Produkt aus der $k$-ten Zeile von
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{} und der $i$-ten Spalte von
\mathl{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }}{,} und dies ist der Eintrag
\mathl{{ \left( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } \right) }_{ik}}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {a \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
Die Zeilenoperation
\mathl{IV = 2II-III}{} führt auf
\mathdisp {(IV) \,\,\, 7b -c = -14} { }
und
\mathl{V=I+2IV}{} führt auf
\mathdisp {(V) \,\,\, 15b = -25} { . }
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ -25 }{ 15 } }
}
{ =} { -{ \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2c
}
{ =} {3-b
}
{ =} {3 + { \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 14 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { -5-4b-c
}
{ =} { -5-4 { \left( { \frac{ -5 }{ 3 } } \right) } - { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ -15 }{ 3 } } + { \frac{ 20 }{ 3 } } - { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \varphi { \left( - { \frac{ 2 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} - { \frac{ 5 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} - { \frac{ 5 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix}
}
{ =} {- { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix}- { \frac{ 5 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -2 - { \frac{ 5 }{ 3 } } + { \frac{ 49 }{ 3 } } \\{ \frac{ 4 }{ 3 } } + { \frac{ 14 }{ 3 } } \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 38 }{ 3 } } \\ { \frac{ 18 }{ 3 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 38 }{ 3 } } \\ 6 \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} {.}
}
{
Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {I \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x +3y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,-w =0} { }
\mathdisp {II \, \, \, \, \, \, 4x +2y +2z + 5w =0} { . }
Es ist
\mathdisp {III=II - 2 \cdot I \, \, \, \, \, \, -4y +2z + 7w =0} { . }
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.
Wir wählen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach III und nach I ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ - { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix}} { }
eine Lösung.
Wir wählen jetzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach III und nach I ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { - { \frac{ 17 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang $2$ besitzt
\zusatzklammer {was aus der Stufengestalt ablesbar ist} {} {,}
ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
\mathdisp {{ \left\{ a \begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \R \right\} }} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen
\zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {}
nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen
\zusatzklammer {in der Reihenfolge
\mathl{A,B,C}{} und Nichtleser} {} {}
beschreibt, ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix}} { . }
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung
\mathl{(20000,20000,20000,40000)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20000 \\20000\\ 20000\\40000 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 22000 \\20000\\ 23000\\35000 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Die Ausgangsverteilung ist
\mathl{(0,0,0,100000)}{,} daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich
\mathl{(10000,10000,10000,70000)}{.}
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10000 \\10000\\ 10000\\70000 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 16000 \\15000\\ 16500\\52500 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16000 \\15000\\ 16500\\52500 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 12800+1500+5250 \\1600+9000+1650+5250\\ 800+3000+11550+5250\\800+1500+3300+36750 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 19550 \\17500\\ 20600\\42350 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbeledisp {} {V \times { V }^{ * }} {K } {(v,f)} { f(v) } {,} nicht \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbdisp {g} {\R} {\R
} {}
die Identität. Dann wird unter der Auswertungsabbildung
\maabbeledisp {} {V \times V^*} { \R
} {(v,f)} {f(v)
} {,}
das Paar
\mathl{(1,g)}{} auf $1$ abgebildet. Das Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 (1,g)
}
{ = }{ (2,2g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2g) (2)
}
{ =} {4
}
{ \neq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet, daher ist die Abbildung nicht linear.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass
\mathl{\Psi(v)}{} eine Linearform auf dem Dualraum ${ V }^{ * }$ ist. Offenbar ist
\mathl{\Psi(v)}{} eine Abbildung von ${ V }^{ * }$ nach $K$. Die Additivität ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \Psi(v))(f_1+f_2)
}
{ =} { (f_1+f_2) (v)
}
{ =} { f_1(v) +f_2(v)
}
{ =} { ( \Psi(v))(f_1) + ( \Psi(v))(f_2)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \Psi(v))(s f )
}
{ =} { (s f ) (v)
}
{ =} { s ( f(v))
}
{ =} { s ( ( \Psi(v))(f) )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi (v+w)
}
{ =} { \Psi(v) + \Psi(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in
\mathl{{ { \left( { V }^{ * } \right) } }^{ * }}{} ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig. Dann folgt die Additivität aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \Psi (v+w) )(f)
}
{ =} { f(v+w)
}
{ =} { f(v) +f(w)
}
{ =} { ( \Psi (v) )(f) + ( \Psi (w) )(f)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \Psi (s v) )(f)
}
{ =} { f(s v)
}
{ =} { s (f(v))
}
{ =} { s ( ( \Psi (v) )(f) )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Nachweis der Injektivität sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. D.h. für alle Linearformen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber nach
Lemma 14.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
schon
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
dem Injektivitätskriterium
ist $\Psi$ injektiv.
Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit quadratischen Matrizen
\mathkor {} {A,B,C} {und} {D} {}
schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen nicht gilt.
}
{
Wir betrachten die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}} { }
mit den $2 \times 2$-Untermatrizen
\mathl{A,B,C,D}{} wie in der Aufgabenstellung. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {1 \cdot 1- 1 \cdot 1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Um die wahre Determinante auszurechnen, führen wir Zeilenoperationen durch. Wir ersetzen die dritte Zeile durch
\mathl{III-I}{} und die vierte Zeile durch
\mathl{IV-II}{} und erhalten
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
Wir addieren zur vierten Zeile die dritte Zeile hinzu und erhalten die obere Dreiecksmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { , }
bei der alle Diagonaleinträge von $0$ verschieden sind. Daher ist diese Matrix und damit auch die Ausgangsmatrix
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
und die Determinante ist nach
Fakt *****
nicht $0$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Permutation8.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Permutation8.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.
}
{Permutation/Überschneidungsfrei/1/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+3+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $I$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (j),j}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
\wertetabellevierausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundvier {1} {2} {3} {4
} }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundvier {3} {1} {4} {2
} }
b) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \pi} { M_\pi } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
c) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_\pi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Nach Konstruktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_\pi (e_j)
}
{ =} { e_{\pi(j)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da dies die $j$-te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_{\pi \rho}
}
{ =} { M_\pi \circ M_\rho
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( M_\pi \circ M_\rho \right) } (e_i)
}
{ =} { M_\pi ( M_\rho (e_i))
}
{ =} { M_\pi ( e_{\rho(i)})
}
{ =} { e_{ \pi ( \rho (i)) }
}
{ =} { M_{\pi \rho} (e_i)
}
}
{}{}{.}
c) Mit der Leibniz-Formel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} {\sum_{ \rho \in S_{ n } } \operatorname{sgn}(\rho ) a_{1 \rho (1)} \cdots a_{ n \rho( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Produkt ist nur in dem einen Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho
}
{ =} { \pi^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht $0$, da sonst immer mindestens ein Faktor gleich $0$ ist. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi^{-1} ) a_{1 \pi^{-1}(1)} \cdots a_{n \pi^{-1}(n) }
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi^{-1} )
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+3)}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
{
a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für
\mathl{x \in \R}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( h \cdot g \right) } \circ f \right) } (x)
}
{ =} { { \left( h \cdot g \right) } { \left( f (x) \right) }
}
{ =} { h(f(x)) \cdot g(f(x))
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } (x) \cdot { \left( g \circ f \right) } (x)
}
{ =} { { \left( { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } \right) } (x)
}
}
{}
{}{,}
was die Aussage beweist.
b) Wir nehmen für
\mathl{f,g,h}{} jeweils die Identität, also die Abbildung
\mathl{x \mapsto x}{.} Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren
\mathl{x \mapsto x^2}{.} Daher ist in diesem Beispiel die Funktion
\mathdisp {{ \left( h \circ g \right) } \cdot f} { }
gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion
\mathdisp {{ \left( h\cdot f \right) } \circ { \left( g\cdot f \right) }} { }
hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung
\mathl{x \mapsto { \left( x^2 \right) }^2 =x^4}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Schreibe das Polynom
\mathdisp {X^4-1} { }
als Produkt von Linearfaktoren in ${\mathbb C}[X]$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4-1
}
{ =} {(X^2-1)(X^2+1)
}
{ =} {(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Wir betrachten in
\mathl{\Q[X]}{} die beiden
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
\mathkor {} {(X-2)} {und} {(X+3)} {.}
Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {(X-2) \cap (X+3)} { }
gleich dem Hauptideal
\mathl{( (X-2)\cdot(X+3) )}{} ist.
}
{
Das Produkt
\mathl{(X-2)(X+3)}{} gehört zu den beiden Hauptidealen
\mathkor {} {(X-2)} {und} {(X+3)} {,}
also auch zum Durchschnitt
\mathl{(X-2) \cap (X+3)}{.} Da der Durchschnitt von Idealen wieder ein Ideal ist, gehören auch alle Vielfachen von
\mathl{(X-2)(X+3)}{} zu diesem Ideal.
Es sei umgekehrt
\mathl{F \in (X-2) \cap (X+3)}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { (X-2)P
}
{ =} { (X+3)Q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit gewissen Polynomen
\mathl{P,Q \in \Q[X]}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(2)
}
{ =} { 0
}
{ =} { 5 \cdot Q(2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In $\Q$ folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(2)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich nach
Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {(X-2) G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Also ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {(X+3) Q
}
{ =} { (X+3)(X-2) G
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{F \in (X-2)(X+3)}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zu einer
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_M
}
{ \defeq} { X^2 - \operatorname{Spur} { \left( M \right) } X + \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_M(M)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P_M (M)
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - (a+d) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + (ad-bc ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+dc & cb+d^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a (a+d) & b (a+d) \\ c (a+d) & d (a+d) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^2+bc-a (a+d) +ad-bc & ab+bd- b (a+d) \\ ac+dc - c (a+d) & cb+d^2-d (a+d) +ad-bc \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $M$ ein Diagonaleintrag von $M$ sein muss.
}
{
Es sei
\mathl{\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( d_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mathl{t \in K}{.} Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{11}x_1 + \cdots + d_{1n} x_n
}
{ =} { tx_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{22}x_2 + \cdots + d_{2n} x_n
}
{ =} { tx_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mathdisp {\vdots} { }
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{n-1 \, n-1 }x_{n-1} + d_{(n-1)n} x_n
}
{ =} { tx_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_{nn} x_n
}
{ =} { tx_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $k$ der größte Index mit
\mathl{x_k \neq 0}{,} was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die $k$-te Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{kk}x_k + \cdots + d_{kn} x_n
}
{ =} { tx_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_{kk}x_k
}
{ =} {tx_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_k
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} {d_{kk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. dass der Eigenwert $t$ ein Diagonalelement ist.
}