Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Teiltest/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 4 4 3 8 5 1 7 5 2 6 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis zu einer anderen Basis .
  2. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  3. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Die Determinante einer -Matrix .
  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei

    mit den Koeffizienten . Dann nennt man die -Matrix

    die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von nach .

  2. Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .
  3. Man nennt

    den Kern von .

  4. Unter dem Dualraum zu versteht man den Homomorphismenraum
  5. Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
  6. Ein Element , , heißt ein Eigenvektor von , wenn

    mit einem gewissen gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Dimension der Homomorphismenräume.
  2. Die Leibniz-Formel für die Determinante.
  3. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit den Dimensionen bzw. . Dann ist
  2. Für die Determinante einer -Matrix

    gilt

  3. Es seien zwei Polynome mit . Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

stehen.


Lösung

Es sei

und

Dann ist

und

Somit ist

Der Koeffizient vor ist dabei das Produkt aus der -ten Zeile von und der -ten Spalte von , und dies ist der Eintrag .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Lösung

Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem

Die Zeilenoperation führt auf

und führt auf

Damit ist

und

also

und

Also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Lösung

Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

Es ist

Damit haben wir Stufengestalt erreicht.

Wir wählen und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist

eine Lösung.

Wir wählen jetzt und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist

eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang besitzt (was aus der Stufengestalt ablesbar ist), ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum mit Dualraum . Zeige, dass die natürliche Abbildung

nicht linear ist.


Lösung

Es sei und es sei

die Identität. Dann wird unter der Auswertungsabbildung

das Paar auf abgebildet. Das Paar wird auf

abgebildet, daher ist die Abbildung nicht linear.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.


Lösung

Sei fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass eine Linearform auf dem Dualraum ist. Offenbar ist eine Abbildung von nach . Die Additivität ergibt sich aus

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien . Es ist die Gleichheit

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei beliebig. Dann folgt die Additivität aus

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

Zum Nachweis der Injektivität sei mit gegeben. D.h. für alle Linearformen ist . Dann ist aber nach Lemma 14.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) schon

und nach dem Injektivitätskriterium ist injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

im Allgemeinen nicht gilt.


Lösung

Wir betrachten die Matrix

mit den -Untermatrizen wie in der Aufgabenstellung. Dann ist

Um die wahre Determinante auszurechnen, führen wir Zeilenoperationen durch. Wir ersetzen die dritte Zeile durch und die vierte Zeile durch und erhalten

Wir addieren zur vierten Zeile die dritte Zeile hinzu und erhalten die obere Dreiecksmatrix

bei der alle Diagonaleinträge von verschieden sind. Daher ist diese Matrix und damit auch die Ausgangsmatrix invertierbar und die Determinante ist nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) nicht .


Aufgabe (1 Punkt)

Permutation8.png

Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.


Lösung Permutation/Überschneidungsfrei/1/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind.

a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation

b) Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.

c) Zeige, dass

ist.


Lösung

a) Es ist

b) Nach Konstruktion ist

da dies die -te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit

lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen

c) Mit der Leibniz-Formel ist

Das Produkt ist nur in dem einen Fall

nicht , da sonst immer mindestens ein Faktor gleich ist. Also ist


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Lösung

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für ist

was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für jeweils die Identität, also die Abbildung . Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren . Daher ist in diesem Beispiel die Funktion

gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion

hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung .


Aufgabe (2 Punkte)

Schreibe das Polynom

als Produkt von Linearfaktoren in .


Lösung

Es ist


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten in die beiden Hauptideale und . Zeige, dass der Durchschnitt

gleich dem Hauptideal ist.


Lösung

Das Produkt gehört zu den beiden Hauptidealen und , also auch zum Durchschnitt . Da der Durchschnitt von Idealen wieder ein Ideal ist, gehören auch alle Vielfachen von zu diesem Ideal.

Sei umgekehrt . Dann ist

mit gewissen Polynomen . Daher ist

In folgt daraus

Daraus ergibt sich nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)), dass

ist. Also ist insgesamt

also .


Aufgabe (2 Punkte)

Zu einer -Matrix sei

Zeige, dass ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.


Lösung

Es sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies

Es sei der größte Index mit , was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die -te Gleichung

zu

und wegen

folgt

d.h. dass der Eigenwert ein Diagonalelement ist.