Kurs:Lineare Algebra/Teil I/28/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 6 }
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\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 63 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Die durch eine $m \times n$-Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (a_{ij})_{ij}
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {festgelegte lineare Abbildung} {}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $V$ und einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $W$.
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} einer
\zusatzklammer {nicht notwendigerweise endlichen} {} {}
Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} eines Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
}{Das \stichwort {Einheitsideal} {} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Ein \stichwort {affiner Raum} {} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
\mathdisp {AB} { }
diejenige
\mathl{m\times p}{-}Matrix, deren Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
}{Man nennt die durch
\mathdisp {v_j \longmapsto \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i} { }
gemäß
Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
definierte lineare Abbildung
\mathl{\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)}{} die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
}{Eine Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung
\mathdisp {\sum_{i \in J} a_i v_i =0 \text{ mit } a_i \in K \text{ für eine endliche Teilmenge } J \subseteq I} { }
nur bei
\mathl{a_i=0}{} für alle $i$ möglich ist.
}{Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ \defeq} { \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
}{Das
Einheitsideal
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ ist der Ring selbst.
}{Ein
affiner Raum
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ ist
\zusatzklammer {die leere Menge oder} {} {}
eine nichtleere Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times E} {E
} {(v,P)} { P+v
} {,}
die den drei Bedingungen
\aufzaehlungdrei{
\mathl{P+0=P}{} für alle
\mathl{P \in E}{,}
}{
\mathl{(P+v)+w=P+(v+w)}{} für alle
\mathl{v,w \in V}{} und
\mathl{P \in E}{,}
}{ Zu je zwei Punkten
\mathl{P,Q \in E}{} gibt es genau einen Vektor
\mathl{v \in V}{} mit
\mathl{Q=P+v}{,}
}
genügt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.}{Der Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.}{Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Aus $a \cdot b =0$ mit
\mathl{a,b \in K}{} folgt $a=0$ oder $b=0$.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mathl{U_1,U_2 \subseteq V}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( U_1 \right) } + \operatorname{dim}_{ } { \left( U_2 \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( U_1 \cap U_2 \right) } + \operatorname{dim}_{ } { \left( U_1 + U_2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & u_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 0 & u_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & u_{n-2} & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & u_{n-1}\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}} { }
besitzt, wobei die $u_i$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Negiere den Satz \anfuehrung{Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich}{} durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).
}
{
Es gibt ein Schwein, das mich anruft, oder es gibt eine Sau, die sich für mich interessiert.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen. \aufzaehlungdrei{\anfuehrung{Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen}{.} }{\anfuehrung{Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall}{.} }{\anfuehrung{Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht}{.} } Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?
}
{
\aufzaehlungdrei{Induktionsbeweis. }{Beweis durch Widerspruch. }{Beweis durch Fallunterscheidung. }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
\aufzaehlungvier{Es sei $H$ die Menge aller \zusatzklammer {lebenden oder verstorbenen} {} {} Menschen. Untersuche die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {H} {H } {,} die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität. }{Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung $\varphi^3$? }{Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge $E$ aller Einzelkinder und auf die Menge $M$ aller Mütter einschränkt? }{Seien Sie spitzfindig \zusatzklammer {evolutionsbiologisch oder religiös} {} {} und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist. }
}
{
\aufzaehlungvier{Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
}{Die Abbildung $\varphi^3$ ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
}{Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
}{Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge
\mathbed {\varphi^n(x)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass
\mathl{\varphi^n(x)}{} schon ein Mensch ist, aber
\mathl{\varphi^{n+1}(x)}{} noch nicht. Für
\mathl{\varphi^n(x)}{} ist dann die Abbildung nicht definiert.
Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind. }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Wir fassen die Lösung eines Sudokus \zusatzklammer {unabhängig von Zahlenvorgaben} {} {} als eine Abbildung \maabbeledisp {} { \{1,2 , \ldots , 9\} \times \{1,2 , \ldots , 9 \}} { \{1,2 , \ldots , 9\} } {(i,j)} { a_{i,j} } {,} auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.
}
{
Die Bedingungen sind:
Für jedes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ =} {1 , \ldots , 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 1 , \ldots , 9 \} } { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {j } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
Für jedes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ j
}
{ =} {1 , \ldots , 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 1 , \ldots , 9 \} } { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {i } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
Für jedes Paar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { r,s
}
{ \leq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 3r+1,3r+2, 3r+3 \} \times \{ 3s+1,3s+2 , 3s+3 \}} { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {(i,j) } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Eine Termitenkönigin legt
\mathl{36 000}{} Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang
\zusatzklammer {am $29$. Februar legt sie keine Eier} {} {.}
Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?
}
{
Es sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{36 000 \cdot 365 \cdot 20
}
{ =} {720 000 \cdot 365
}
{ =} {262 800 000
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Eier.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass die Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
bilden, in der jedes Element zu sich selbst
\definitionsverweis {invers}{}{}
ist.
}
{
Da alle beteiligten Matrizen Diagonalmatrizen sind, ist die Multiplikation besonders einfach. Insbesondere die Kommutativität und die Eigenschaft, dass jedes Element zu sich selbst invers ist, sind sofort klar. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Matrizenmenge abgeschlossen unter der Multiplikation. Da die Einheitsmatrix und die Inversen dazugehören, handelt es sich um eine Untergruppe.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
5 x
-7 y
-4 z & = & 0 \\
2 x
+ y
-3 z & = & 0 \\
7 x
+6 y
-2 z & = & 0 \,
\end{matrix}} { }
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.
}
{
Wir rechnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{II'
}
{ =} { II- { \frac{ 2 }{ 5 } } I
}
{ =} { { \frac{ 19 }{ 5 } } y - { \frac{ 7 }{ 5 } } z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{III'
}
{ =} { III- { \frac{ 7 }{ 5 } } I
}
{ =} { { \frac{ 79 }{ 5 } } y + { \frac{ 18 }{ 5 } } z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5 \cdot 79 \cdot II' - 5 \cdot 19 \cdot III'
}
{ =} { ( -7 \cdot 79 -18 \cdot 19 ) z
}
{ =} { -895 z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aus $II'$ ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aus $I$ ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Beweise den Satz über den Basiswechsel.
}
{
Dies folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j v_j
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j { \left( \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j c_{ij} \right) } w_i
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Definition der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen weiteren Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ \{ 0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei $P = X^n \in K[X]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von $P$ die Form
\mathbed {X^k} {}
{1 \leq k \leq n} {}
{} {} {} {,}
besitzen.
}
{
Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von $X^n$. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über $n$. Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich $n$ ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { (X+a) \cdot 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
haben, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzwingt. Es sei nun $n$ beliebig und eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ =} { P \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in normierte Polynome $P,Q$ vorgegeben. Da $0$ eine Nullstelle links ist, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach
Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist $X$ ein Teiler von $P$ und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n
}
{ =} { ( \tilde{ P} X) \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{K[X]}{} nullteilerfrei ist, folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^{n-1}
}
{ =} { \tilde{P} \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
\matabellezweivier {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & { \frac{ 7 }{ 4 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - { \frac{ 5 }{ 4 } } & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & { \frac{ 7 }{ 4 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 12 }{ 7 } } & - { \frac{ 4 }{ 7 } } \\ - { \frac{ 5 }{ 4 } } & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & - { \frac{ 1 }{ 7 } } \\ - { \frac{ 5 }{ 7 } } & { \frac{ 4 }{ 7 } } \end{pmatrix}
} }
Die inverse Matrix ist also
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & - { \frac{ 1 }{ 7 } } \\ - { \frac{ 5 }{ 7 } } & { \frac{ 4 }{ 7 } } \end{pmatrix}}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ x^2-5 }{ x+3 } } & { \frac{ x^3-7 }{ 2x } } \\ { \frac{ x^2+1 }{ x^2-4x } } & { \frac{ 3x^2-x }{ x^2-3 } } \end{pmatrix}} { }
über dem Körper $\R(X)$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \det \begin{pmatrix} { \frac{ x^2-5 }{ x+3 } } & { \frac{ x^3-7 }{ 2x } } \\ { \frac{ x^2+1 }{ x^2-4x } } & { \frac{ 3x^2-x }{ x^2-3 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ x^2-5 }{ x+3 } } \cdot { \frac{ 3x^2-x }{ x^2-3 } } - { \frac{ x^3-7 }{ 2x } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2-4x } }
}
{ =} { { \frac{ x { \left( 3x^3 -x^2 -15x +5 \right) } }{ x^3 +3 x^2 - 3 x -9 } } - { \frac{ x^5 +x^3 -7x^2 -7 }{ 2 x^2 (x-4) } }
}
{ =} { { \frac{ x^3 (2x-8){ \left( 3x^3 -x^2 -15x +5 \right) } - { \left( x^5 +x^3 -7x^2 -7 \right) } { \left( x^3 +3 x^2 - 3 x -9 \right) } }{ 2 x^2 (x-4) { \left( x^3 +3 x^2 - 3 x -9 \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ 2 x^3 { \left( 3x^4 -13 x^3 -11 x^2 +65x -20 \right) } - { \left( x^8 + 3x^7 -2 x^6 - 13x^5 -24 x^4 +5 x^3 + 42 x^2 +21 x +63 \right) } }{ 2 x^2 { \left( x^4 -x^3 -15 x^2 + 3 x +36 \right) } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ - x^8 +3x^7 -24 x^6 -9 x^5 +154 x^4 -45 x^3 - 42 x^2 -21 x -63 }{ 2 x^6 -2x^5 - 30 x^4 + 6 x^3 +72x^2 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+3+1)}
{
Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter. \aufzaehlungdrei{Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen? }{Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann? }{Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen? }
}
{
\aufzaehlungdrei{Wenn er den langen Stab $16$-mal hintereinander hinlegt, erreicht er $10$ Meter. Wenn er von dort aus den kleinen Stab rückwärts $21$-mal hinlegt, erhält er $9$ Meter in die andere Richtung und damit insgesamt einen Meter.
}{Die beiden Stäbe haben die Länge
\mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 7 } }} {bzw.} {{ \frac{ 5 }{ 8 } }} {.}
Da er die Stäbe nur hintereinander bzw. nebeneinander hinlegen kann, wobei jeweils zwei Endpunkte übereinstimmen müssen, ist die Gesamtheit der erzielbaren Längen gleich
\mathdisp {m { \frac{ 3 }{ 7 } } +n { \frac{ 5 }{ 8 } } \text{ mit } m, n \in \Z} { . }
Wir arbeiten mit dem Hauptnenner $56$ und schreiben dies als
\mathdisp {m { \frac{ 24 }{ 56 } } +n { \frac{ 35 }{ 56 } } = { \left( 24 m +35 n \right) } { \frac{ 1 }{ 56 } } \text{ mit } m, n \in \Z} { . }
Von daher ist klar, dass er nur ganzzahlige Vielfache von ${ \frac{ 1 }{ 56 } }$ legen kann. Da
\mathkor {} {24 =3\cdot 8} {und} {35=5 \cdot 7} {}
teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen
\mathl{m,n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 24 m +35 n
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Er kann also in der Tat die Strecke
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 56 } }}{} hinlegen.
}{Da er den Prozess, mit dem er ${ \frac{ 1 }{ 56 } }$ hinlegt, beliebig oft und in beide Richtungen ausführen kann, kann er jedes ganzzahlige Vielfache von ${ \frac{ 1 }{ 56 } }$ abmessen.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$, es seien
\mathl{a,b \in K}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mathl{a
\operatorname{Id}_{ V }}{} die
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
zu $a$. Zeige, dass $b$ genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi$ ist, wenn $ab$ ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung
\mathl{a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi}{} ist.
}
{
Es sei $b$ ein Eigenwert zu $\varphi$. Dann gibt es einen Vektor
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v)
}
{ =} {bv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi \right) } (v)
}
{ =} { a \varphi(v)
}
{ =} { ab v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass $ab$ Eigenwert zu
\mathl{a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi}{} ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^{-1}
\operatorname{Id}_{ V } \circ a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi
}
{ =} { \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt auch die andere Implikation.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $\varphi$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist, so kann man sofort annehmen, dass $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer
\definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag $\lambda$ trägt als Linearfaktor
\mathl{X- \lambda}{} bei.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Für die Umkehrung seien
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} die verschiedenen Eigenwerte und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_i
}
{ \defeq} { \mu_{\lambda_i}(\varphi)
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda_i } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
seien die
\zusatzklammer {geometrischen und algebraischen} {} {}
Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich
\mathl{n = \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{} sein. Nach
Lemma 22.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist die Summe der Eigenräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \oplus \cdots \oplus \operatorname{Eig}_{ \lambda_k } { \left( \varphi \right) }
}
{ \subseteq} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich $n$, so dass Gleichheit vorliegt. Nach
Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist $\varphi$ diagonalisierbar.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+2)}
{
Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die in der Diagonalen aus den \definitionsverweis {Jordanblöcken}{}{}
\mathdisp {1, \, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\,\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\,\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\,\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
besteht.
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $M$.
} {Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $M$.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Das charakteristische Polynom ist
\mathl{(X-1)^{15}}{.}
} {Das Minimalpolynoms einer Jordanmatrix der Länge $k$ stimmt mit dem zugehörigen charakteristischen Polynom überein, ist also
\mathl{(X-1)^k}{.} Bei mehreren Jordanblöcken muss man das kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalpolynome nehmen. Im vorliegenden Fall führt dies auf
\mathl{(X-1)^5}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Finde eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+2y-z+4w
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix}} { }
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\-3\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 4\\1 \end{pmatrix}} { }
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\-3\\ 0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\-3\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\{ \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 4\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 4\\{ \frac{ 5 }{ 4 } } \end{pmatrix}} { }
eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.
}