Kurs:Lineare Algebra/Teil I/28/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 3 4 3 1 3 3 2 0 4 4 4 6 3 6 3 4 61




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Die durch eine -Matrix festgelegte lineare Abbildung

    zwischen -Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .

  3. Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren , , in einem -Vektorraum .
  4. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .

  5. Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring .
  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.

  2. Man nennt die durch

    gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.

  3. Eine Familie von Vektoren , , heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.

  4. Die Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .

  5. Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ist der Ring selbst.
  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge zusammen mit einer Abbildung

    die den drei Bedingungen

    1. für alle ,
    2. für alle und ,
    3. Zu je zwei Punkten gibt es genau einen Vektor mit ,

    genügt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper .
  2. Der Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
  3. Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.


Lösung

  1. Aus mit folgt oder .
  2. Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es seien Untervektorräume. Dann ist
  3. Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine nilpotente lineare Abbildung. Dann gibt es eine Basis von , bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

    besitzt, wobei die gleich oder gleich sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).


Lösung

Es gibt ein Schwein, das mich anruft, oder es gibt eine Sau, die sich für mich interessiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

  1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
  2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
  3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?


Lösung

  1. Induktionsbeweis.
  2. Beweis durch Widerspruch.
  3. Beweis durch Fallunterscheidung.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
  2. Die Abbildung ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
  3. Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
  4. Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge , , einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein derart, dass schon ein Mensch ist, aber noch nicht. Für ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.


Lösung

Die Bedingungen sind:

Für jedes

ist die Abbildung

bijektiv.

Für jedes

ist die Abbildung

bijektiv.

Für jedes Paar

ist die Abbildung

bijektiv.


Aufgabe (1 Punkt)

Eine Termitenkönigin legt Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang. Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?


Lösung

Es sind

Eier.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrizen

eine kommutative Gruppe bilden, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.


Lösung

Da alle beteiligten Matrizen Diagonalmatrizen sind, ist die Multiplikation besonders einfach. Insbesondere die Kommutativität und die Eigenschaft, dass jedes Element zu sich selbst invers ist, sind sofort klar. Wegen

und

ist die Matrizenmenge abgeschlossen unter der Multiplikation. Da die Einheitsmatrix und die Inversen dazugehören, handelt es sich um eine Untergruppe.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Lösung

Wir rechnen

und

Somit ist

Daraus ergibt sich , aus ergibt sich und aus ergibt sich .


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über den Basiswechsel.


Lösung

Dies folgt direkt aus

und der Definition der Matrizenmultiplikation.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei mit . Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von die Form , , besitzen.


Lösung

Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von . Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über . Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich ist. Sei . Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form

haben, was erzwingt. Sei nun beliebig und eine Faktorzerlegung

in normierte Polynome vorgegeben. Da eine Nullstelle links ist, muss oder sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist ein Teiler von und somit ist

Da nullteilerfrei ist, folgt

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Determinante von

über dem Körper .


Lösung

Es ist


Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

  1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
  2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
  3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?


Lösung

  1. Wenn er den langen Stab -mal hintereinander hinlegt, erreicht er Meter. Wenn er von dort aus den kleinen Stab rückwärts -mal hinlegt, erhält er Meter in die andere Richtung und damit insgesamt einen Meter.
  2. Die beiden Stäbe haben die Länge bzw. . Da er die Stäbe nur hintereinander bzw. nebeneinander hinlegen kann, wobei jeweils zwei Endpunkte übereinstimmen müssen, ist die Gesamtheit der erzielbaren Längen gleich

    Wir arbeiten mit dem Hauptnenner und schreiben dies als

    Von daher ist klar, dass er nur ganzzahlige Vielfache von legen kann. Da und teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen mit

    Er kann also in der Tat die Strecke hinlegen.

  3. Da er den Prozess, mit dem er hinlegt, beliebig oft und in beide Richtungen ausführen kann, kann er jedes ganzzahlige Vielfache von abmessen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung auf dem -Vektorraum , es seien mit und es sei die Streckung zu . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert zu ist, wenn ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung ist.


Lösung

Sei ein Eigenwert zu . Dann gibt es einen Vektor , , mit

Dann ist

Dies bedeutet, dass Eigenwert zu ist. Wegen

gilt auch die andere Implikation.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.


Lösung

Wenn diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.

Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich sein. Nach Lemma 22.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist die Summe der Eigenräume

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich , so dass Gleichheit vorliegt. Nach Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist diagonalisierbar.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei eine quadratische Matrix, die in der Diagonalen aus den Jordanblöcken

besteht.

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme das Minimalpolynom von .


Lösung

  1. Das charakteristische Polynom ist .
  2. Das Minimalpolynoms einer Jordanmatrix der Länge stimmt mit dem zugehörigen charakteristischen Polynom überein, ist also . Bei mehreren Jordanblöcken muss man das kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalpolynome nehmen. Im vorliegenden Fall führt dies auf .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung


Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch

gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind

Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet

eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.