Kurs:Lineare Algebra/Teil I/29/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 65 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
mit einem
\definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}
}{\stichwort {Ähnliche} {}
Matrizen
\mathl{M,N \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{.}
}{Eine \stichwort {Determinantenfunktion} {} \maabbdisp {\triangle} {V^n} {K } {,} wobei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.
}{Die \stichwort {Permutationsgruppe} {} zu einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Eigenwert} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$.}{Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.}{Der Satz von \stichwort {Cayley-Hamilton} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie $5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren
\mathl{:\!01, :\!11, :\!21}{} etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Was bedeutet das Wort \anfuehrung{linear}{} in der Linearen Algebra?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+3)}
{
\aufzaehlungdrei{Löse das folgende Minisudoku
\mathdisp {\begin{pmatrix} - & - & 2 & - \\ 3 & - & - & 4 \\ - & - & - & - \\ - & 4 & - & 1 \end{pmatrix}} { . }
}{Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
}{Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(0,0,1)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(2,3,0), (4,-1,2) \text{ und } (1,2,1)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise das Basisaustauschlemma.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit
\zusatzklammer {16 Stunden pro Tag} {} {}
zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei
\mathl{2000}{} kcal und $100$ Gramm Heidelbeeren enthalten $42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt $1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Urbildes}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \Q \begin{pmatrix} 7 \\1\\ 12 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq} { \Q^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\Q^4} {\Q^3} {
\begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix}
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 7 \\ 0 & 4 & 1 \\0 & -1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x)
}
{ =} { 3x^2-7x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme
\mathl{\varphi { \left( u^2-2v \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und seien \maabb {\varphi, \psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{,} von denen die \definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{} bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von $\varphi + \psi$ bestimmen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
mit
\definitionsverweis {Vielfachheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur reellen
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -5 & -1 & 0 \\0 & 0 & 11 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
und ob sie
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {affine Gerade}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\7\\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\2\\ 4 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
über $(1,0)$ einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabb {\psi} {\R^3} {\R^2
} {.}
}
{} {}