Kurs:Lineare Algebra/Teil I/29/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 1 5 3 8 3 5 4 3 6 2 4 2 0 3 3 60



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Körper .
  2. Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

    mit einem neutralen Element .

  3. Ähnliche Matrizen .
  4. Eine Determinantenfunktion

    wobei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper ist.

  5. Die Permutationsgruppe zu einer Menge .
  6. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper .
  2. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
  3. Der Satz von Cayley-Hamilton.


Aufgabe * (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?


Aufgabe (1 Punkt)

Was bedeutet das Wort „linear“ in der Linearen Algebra?


Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

  1. Löse das folgende Minisudoku
  2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
  3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?


Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.


Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr Kalorienbedarf liegt bei kcal und Gramm Heidelbeeren enthalten kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Basis des Urbildes von

zur linearen Abbildung


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

Bestimme .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .