Kurs:Lineare Algebra/Teil I/35/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	0	4	0	2	0	4	0	3	7	4	0	4	8	3	0	4	53

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   $f\colon M\longrightarrow N.$

2. Die Kommutativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$

3. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Eine Streckung auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Eine nilpotente ${}d\times d$- Matrix über ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Dimension eines Untervektorraum ${}U\subseteq V$.
2. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
3. Die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)

${}E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

1. Der Mörder ist ${}A$ oder ${}B$ oder ${}C$ oder ${}D$.
2. Wenn ${}C$ der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder oder ${}A$ ist der Mörder.
3. ${}A,B,C,D$ sind alle verschieden.
4. Es gibt genau einen Mörder.
5. Wenn ${}A$ nicht der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder.
6. ${}A$ ist genau dann der Mörder, wenn ${}B$ der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?

Aufgabe * (2 Punkte)

In den Klassenarbeiten der Klasse ${}7x$ können die üblichen Noten mit den Zehntelangaben ${}0,3$ oder ${}7$ erzielt werden (also beispielsweise ${}2+=1,7$, ${}2=2,0$ und ${}2-=2,3$). Es werden im Halbjahr zwei Klassenarbeiten geschrieben, ihr Durchschnitt (das arithmetische Mittel) bestimmt über die Endnote, die ganzzahlig ist. Kann es einen Unterschied machen, ob man zuerst die einzelnen Klassenarbeiten rundet und dann den Durchschnitt rundet, oder ob man den Durchschnitt nimmt und dann rundet (${},5$ soll auf die größere ganze Note gerundet werden)?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper ${}K$. Zeige, dass

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Gleichung ${}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Basisergänzungssatz.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1&3&9&0\\-1&0&5&2\\0&1&3&6\\-3&0&0&7\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen ${}z$, für die die Matrix

${\begin{pmatrix}2z&0&-z+1\\1&1&3\\z&2&-z\end{pmatrix}}$

nicht invertierbar ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)

1. Bestimme ein Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq 3$ mit

   ${}P(-1)=-4\,,$

   ${}P(0)=2\,,$

   ${}P(1)=2\,$

   und

   ${}P(2)=3\,$

2. Bestimme ein normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}3$ mit

   ${}Q(0)=1\,,$

   ${}Q(2)=3\,$

   und

   ${}Q(3)=10\,.$

3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${}P$ und zu ${}Q$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}3x+3y-2z+w=2\,.$