Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 10 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Die durch eine $m \times n$-Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (a_{ij})_{ij}
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {festgelegte lineare Abbildung} {}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $V$ und einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $W$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} eines Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
}{Das \stichwort {Einheitsideal} {} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein
\stichwort {affiner Unterraum} {}
\mathl{F \subseteq E}{} in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$ über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \times M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid x \in L,\, y \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Produktmenge der Mengen
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Man nennt die durch
\mathdisp {v_j \longmapsto \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i} { }
gemäß
Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
definierte lineare Abbildung
\mathl{\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)}{} die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
}{Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ \defeq} { \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
}{Das
Einheitsideal
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ ist der Ring selbst.
}{Den Exponenten des linearen Polynoms
\mathl{X - \lambda}{} im
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ nennt man die
algebraische Vielfachheit
von $\lambda$.
}{Eine Teilmenge
\mathl{F \subseteq E}{} heißt
affiner Unterraum,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {P+U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über isomorphe Vektorräume.}{Der Nulltest mittels Linearformen.}{Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Dann sind
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
genau dann, wenn ihre
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
übereinstimmt.}{Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es sei
\mathl{v \in V}{} ein von
\mathl{0}{} verschiedener Vektor. Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabb {f} {V} {K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{\lambda \in K}{.} Dann ist
\mathdisp {\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } = \operatorname{kern} { \left( \lambda \cdot
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi \right) }} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {} für eine Aussage der Form \anfuehrung{Aus $A$ folgt $B$}{.}
}
{
Man möchte zeigen, dass aus einer Aussage $A$ eine weitere Aussage $B$ folgt. Beim Beweis durch Widerspruch nimmt man an, dass gleichzeitig $A$ und nicht $B$ gelten. Unter diesen Voraussetzungen zeigt man, dass sich ein Widerspruch ergibt. Dies bedeutet, dass $A$ und nicht $B$ nicht gleichzeitig gelten können, was eben die Implikation
\mathl{A \implies B}{} bedeutet.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (3+2)}
{
Es seien
\mathl{M_1 , \ldots , M_k}{} und
\mathl{N_1 , \ldots , N_k}{} nichtleere Mengen und
\maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {N_i
} {}
Abbildungen für
\mathl{i= 1 , \ldots , k}{.} Es sei
\mathl{M=M_1 \times \cdots \times M_k}{,}
\mathl{N=N_1 \times \cdots \times N_k}{,} und $\varphi$ die Produktabbildung, also
\maabbeledisp {\varphi} {M} {N
} {(x_1 , \ldots , x_k)} { ( \varphi_1(x_1) , \ldots , \varphi_k(x_k) )
} {.}
a) Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $\varphi_i$ surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
}
{
a) Es seien alle $\varphi_i$ surjektiv und sei
\mathl{y=(y_1 , \ldots , y_k) \in N}{.} Zu jedem $i$ gibt es ein
\mathl{x_i \in M_i}{} mit
\mathl{\varphi(x_i) =y_i}{.} Daher ist
\mathl{x=(x_1 , \ldots , x_k)}{} ein Urbild von $y$ unter $\varphi$.
Es sei umgekehrt $\varphi$ surjektiv, und sei $y_i \in N_i$ gegeben. Da die $N_j$ alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein $a_j \in N_j$. Wir setzen
\mathdisp {y=(a_1 , \ldots , a_{i-1} , y_i, a_{i+1} , \ldots , a_k) \in N} { . }
Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild $x \in M$. Für die $i$-te Komponente davon muss $\varphi_i(x_i)=y_i$ gelten.
b) Es sei $M_1=N_1= \emptyset$, sei $\varphi_1$ die leere Abbildung und seien
\mathl{M_2}{} und
\mathl{N_2}{} irgendwelche
\zusatzklammer {nichtleere} {} {}
Mengen und sei
\maabb {\varphi_2} {M_2} {N_2
} {}
eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist $M= \emptyset \times M_2 = \emptyset$ und $N= \emptyset \times N_2 = \emptyset$ und daher ist die Produktabbildung
\mathl{\varphi= \varphi_1 \times \varphi_2}{} ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle $\varphi_i$ surjektiv sind.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?
}
{
Es sei $x$ der Preis für ein Schneeglöckchen und $y$ der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y
}
{ =} { 2{,}50
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x +2y
}
{ =} {2{,}30
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x
}
{ =} { -2{,}10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0{,}30
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {0{,}40
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot 0{,}3 + 11 \cdot 0{,}4
}
{ =} { 4{,}70
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y
}
{ \leq} {-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x
}
{ \leq} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lineares Ungleichungssystem.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lineares Ungleichungssystem.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
a) Wir lösen jeweils nach $y$ auf und erhalten die vier Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq} { -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ \geq} { x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \leq} { { \frac{ 2 }{ 5 } } x + { \frac{ 3 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.
b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen
\zusatzklammer {die zu den Ungleichungen gehören} {} {}
gegeben sind. Diese sind
\mathdisp {(0,0),\, \left( 0 , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } \right), \, \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } \right) ,\, \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } , \, - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es seien
\mathl{a,b,c \in \R}{} reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} c \\a\\ b \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} b \\c\\ a \end{pmatrix} \in \R^3} { . }
Man gebe Beispiele für
\mathl{a,b,c}{} derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension
\mathl{0,1,2,3}{} besitzt.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{c
}
{ = }{0
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension $0$ besitzt.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{c
}
{ = }{1
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann steht hier dreimal der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}}{} und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension $1$.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann liegen die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 \\0\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}} { }
vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, so dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal $2$ sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau $2$.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{c
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann liegt die Standardbasis vor und der erzeugte Vektorraum ist $\R^3$, also dreidimensional.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} {.}
}
{
Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {I \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x +3y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,-w =0} { }
\mathdisp {II \, \, \, \, \, \, 4x +2y +2z + 5w =0} { . }
Es ist
\mathdisp {III=II - 2 \cdot I \, \, \, \, \, \, -4y +2z + 7w =0} { . }
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.
Wir wählen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach III und nach I ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ - { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix}} { }
eine Lösung.
Wir wählen jetzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach III und nach I ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { - { \frac{ 17 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang $2$ besitzt
\zusatzklammer {was aus der Stufengestalt ablesbar ist} {} {,}
ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
\mathdisp {{ \left\{ a \begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \R \right\} }} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Für eine
$n \times n$-\definitionsverweis {
Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ (a_{ij})_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(M)
}
{ =} { \sum_{ \pi \in S_{ n } } \operatorname{sgn}(\pi ) a_{1 \pi (1)} \cdots a_{ n \pi( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta (M)
}
{ =} { \delta { \left( { M^{ \text{tr} } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt, ohne die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(M)
}
{ = }{ \det M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu verwenden
\zusatzklammer {Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden} {} {.}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { M^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ { \left( b_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{ij}
}
{ = }{a_{ji}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\delta { \left( { M^{ \text{tr} } } \right) }
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{i = 1}^n b_{i \pi (i)}
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{i = 1}^n a_{ \pi (i) i}
}
{ =} { \sum_{\rho = \pi^{-1} \in S_n} \operatorname{sgn}(\rho^{-1} ) \prod_{i = 1}^n a_{ \rho^{-1} (i) i}
}
{ =} { \sum_{\rho \in S_n} \operatorname{sgn}(\rho ) \prod_{j = 1}^n a_{ j \rho(j) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\delta (M)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{a \in K}{} ein fixiertes Element.
a) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid F(a) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ist.
b) Bestimme ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Es ist
\mathl{0 \in {\mathfrak a}}{.} Für
\mathl{F,G \in {\mathfrak a}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(F+G)(a)
}
{ =} {F(a)+ G(a)
}
{ =} {0+0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{F+G \in {\mathfrak a}}{.} Für
\mathl{F \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{H \in K[X]}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(HF)(a)
}
{ =} {H(a) F(a)
}
{ =} {H(a)0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{HF \in {\mathfrak a}}{.}
b) Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (X-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Polynom
\mathl{X-a}{} gehört offenbar zu ${\mathfrak a}$ und damit gehört auch das von
\mathl{X-a}{} erzeugte Hauptideal
\mathl{(X-a)}{} zu ${\mathfrak a}$. Es sei umgekehrt
\mathl{F \in {\mathfrak a}}{.} Die Division mit Rest ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { (X-a)Q +R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $R$ konstant ist. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {F(a)
}
{ =} { (a-a)Q(a) +R(a)
}
{ =} { R(a)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und da $R$ konstant ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mathl{F \in (X-a)}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Es sei $a \in K$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi_k$ für ein bestimmtes $k$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert zur
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
ist.
}
{
Wir betrachten den Vektor
\mathdisp {w= (0 , \ldots , 0, v_k, 0 , \ldots , 0) \in V_1 \times \cdots \times V_{k-1} \times V_k \times V_{k+1} \times \cdots \times V_n} { . }
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_k
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dieser Vektor nicht $0$. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n) (w)
}
{ =} { (\varphi_1(0) , \ldots , \varphi_{k-1}( 0) , \varphi_k(v_k) , \varphi_{k+1} ( 0) , \ldots , \varphi_n( 0) )
}
{ =} {(0 , \ldots , 0, a v_k, 0 , \ldots , 0)
}
{ =} {a (0 , \ldots , 0, v_k, 0 , \ldots , 0)
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
also liegt ein Eigenvektor von $\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n$ zum Eigenwert $a$ vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (3+4)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix über einem Körper $K$.
a) Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.
}
{
a) Es sei
\mathbed {v \in K^2} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Wenn $v$ ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $M$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, so ergänzen wir $v$ durch einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch $M$ gegebene lineare Abbildung durch eine zu $M$ ähnliche Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & r \\ 0 & s \end{pmatrix}} { }
beschrieben, es gibt also darin mindestens eine $0$. Wenn hingegen $v$ kein Eigenvektor ist, so sind
\mathkor {} {v} {und} {w \defeq \varphi(v)} {}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
und bilden eine Basis des $K^2$. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & r \\ 1 & s \end{pmatrix}} { }
beschrieben.
b) Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$ und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine $0$ vorkommt. Es sei $N$ eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche
\definitionsverweis {Spur}{}{,}
die gleiche
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
und das gleiche
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
wie $M$. Da die Determinante von $M$ gleich $1$ ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von $N$ zweimal eine $0$ stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur $0$ sein müsste, diese ist aber $2$. Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre $N$ eine Diagonalmatrix und $M$ wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach
Beispiel 22.12
nicht der Fall.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
}
{
Wir fassen die Matrix
\mathl{X E_{ n } - M}{} als eine Matrix auf, deren Einträge im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K(X)}{} liegen. Die
\definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{}
\mathdisp {(X E_{ n } - M)^{ \operatorname{adj} }} { }
liegt ebenfalls in
\mathl{\operatorname{Mat}_{ n } (K(X))}{.} Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
von
\mathl{(n-1) \times (n-1)}{-}Untermatrizen von
\mathl{X E_{ n } - M}{.} In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, so dass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der
\mathl{(n-1)}{-}ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ (X E_{ n } - M) ^{ \operatorname{adj} }
}
{ =} { X^{n-1} A_{n-1} + X^{n-2} A_{n-2} + \cdots + XA_1 + A_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Matrizen
\mathdisp {A_i \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)} { , }
d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu
\mathl{X^{i}}{} die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von
Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M } E_{ n }
}
{ =} { (X E_{ n } -M) \circ (X E_{ n } -M)^{ \operatorname{adj} }
}
{ =} { (X E_{ n } -M) \circ ( X^{n-1} A_{n-1} + X^{n-2} A_{n-2} \bruchhilfealign + \cdots + XA_1 + A_0 )
}
{ =} { X^n A_{n-1} + X^{n-1} ( A_{n-2} - M \circ A_{n-1} ) \bruchhilfealign + X^{n-2} ( A_{n-3} - M \circ A_{n-2} ) \bruchhilfealign + \cdots + X^{1} ( A_{0} - M \circ A_{1} ) - M \circ A_0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \chi_{ M } E_{ n }
}
{ =} {X^n E_{ n } + X^{n-1} c_{n-1} E_{ n }
+ X^{n-2} c_{n-2} E_{ n } + \cdots + X^{1} c_{1} E_{ n } + c_0 E_{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
\mathdisp {\begin{matrix} E_{ n } & = & A_{n-1} \\ c_{n-1} E_{ n } & = & A_{n-2} - M \circ A_{n-1} \\ c_{n-2} E_{ n } & = & A_{n-3} - M \circ A_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} E_{ n } & = & A_{0} - M \circ A_{1} \\ c_{0} E_{ n } & = & - M \circ A_0 \, . \end{matrix}} { }
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit
\mathl{M^n, M^{n-1}, M^{n-2} , \ldots , M^1 , E_{ n }}{} und erhalten das Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} M^n & = & M^n \circ A_{n-1} \\ c_{n-1} M^{n-1} & = & M^{n-1} \circ A_{n-2} - M^n \circ A_{n-1} \\ c_{n-2} M^{n-2} & = & M^{n-2} \circ A_{n-3} - M^{n-1} \circ A_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} M^1 & = & M A_{0} - M^2 \circ A_{1} \\ c_{0} E_{ n } & = & - M \circ A_0 \, . \end{matrix}} { }
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade
\mathl{\chi_{ M }\, (M)}{.} Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$, da jeder Teilsummand
\mathl{M^{i+1} \circ A_{i}}{} einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (M)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+2+2)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche nicht?
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M -5 E_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix mit Rang $2$, daher ist der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$5$ eindimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { . }
b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.
c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent, allerdings ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 10 & 15 \\ 0 & 0 & 30 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 10 & 12 \\ 0 & 0 & 24 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ der Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 6 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 9 \\0\\ 9 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 5 } } \begin{pmatrix} 5 \\5\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
ist.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } }
}
{ =} { { \frac{ 15+10+6 }{ 30 } }
}
{ =} {{ \frac{ 31 }{ 30 } }
}
{ \neq} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegt keine baryzentrische Kombination vor.
}