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Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur mit Lösungen/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 10 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.

}{Die durch eine $m \times n$-Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ (a_{ij})_{ij} }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \stichwort {festgelegte lineare Abbildung} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v } }
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $V$ und einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w } }
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $W$.

}{Die \stichwort {Determinante} {} eines Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.

}{Das \stichwort {Einheitsideal} {} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Ein \stichwort {affiner Unterraum} {}
\mathl{F \subseteq E}{} in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$ über dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Man nennt die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \times M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid x \in L,\, y \in M \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Produktmenge der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.} }{Man nennt die durch
\mathdisp {v_j \longmapsto \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i} { }
gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) definierte lineare Abbildung
\mathl{\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)}{} die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung. }{Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ beschrieben. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi }
{ \defeq} { \det M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$. }{Das Einheitsideal in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ist der Ring selbst. }{Den Exponenten des linearen Polynoms
\mathl{X - \lambda}{} im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ \varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von $\lambda$. }{Eine Teilmenge
\mathl{F \subseteq E}{} heißt affiner Unterraum, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {P+U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem $K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{.} }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über isomorphe Vektorräume.}{Der Nulltest mittels Linearformen.}{Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Dann sind \mathkor {} {V} {und} {W} {} zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} genau dann, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.}{Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und es sei
\mathl{v \in V}{} ein von
\mathl{0}{} verschiedener Vektor. Dann gibt es eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabb {f} {V} {K } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{\lambda \in K}{.} Dann ist
\mathdisp {\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } = \operatorname{kern} { \left( \lambda \cdot \operatorname{Id}_{ V } - \varphi \right) }} { . }
}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {} für eine Aussage der Form \anfuehrung{Aus $A$ folgt $B$}{.}

}
{

Man möchte zeigen, dass aus einer Aussage $A$ eine weitere Aussage $B$ folgt. Beim Beweis durch Widerspruch nimmt man an, dass gleichzeitig $A$ und nicht $B$ gelten. Unter diesen Voraussetzungen zeigt man, dass sich ein Widerspruch ergibt. Dies bedeutet, dass $A$ und nicht $B$ nicht gleichzeitig gelten können, was eben die Implikation
\mathl{A \implies B}{} bedeutet.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5 (3+2)}
{

Es seien
\mathl{M_1 , \ldots , M_k}{} und
\mathl{N_1 , \ldots , N_k}{} nichtleere Mengen und \maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {N_i } {} Abbildungen für
\mathl{i= 1 , \ldots , k}{.} Es sei
\mathl{M=M_1 \times \cdots \times M_k}{,}
\mathl{N=N_1 \times \cdots \times N_k}{,} und $\varphi$ die Produktabbildung, also \maabbeledisp {\varphi} {M} {N } {(x_1 , \ldots , x_k)} { ( \varphi_1(x_1) , \ldots , \varphi_k(x_k) ) } {.}

a) Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $\varphi_i$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

}
{

a) Es seien alle $\varphi_i$ surjektiv und sei
\mathl{y=(y_1 , \ldots , y_k) \in N}{.} Zu jedem $i$ gibt es ein
\mathl{x_i \in M_i}{} mit
\mathl{\varphi(x_i) =y_i}{.} Daher ist
\mathl{x=(x_1 , \ldots , x_k)}{} ein Urbild von $y$ unter $\varphi$.

Es sei umgekehrt $\varphi$ surjektiv, und sei $y_i \in N_i$ gegeben. Da die $N_j$ alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein $a_j \in N_j$. Wir setzen
\mathdisp {y=(a_1 , \ldots , a_{i-1} , y_i, a_{i+1} , \ldots , a_k) \in N} { . }
Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild $x \in M$. Für die $i$-te Komponente davon muss $\varphi_i(x_i)=y_i$ gelten.

b) Es sei $M_1=N_1= \emptyset$, sei $\varphi_1$ die leere Abbildung und seien
\mathl{M_2}{} und
\mathl{N_2}{} irgendwelche \zusatzklammer {nichtleere} {} {} Mengen und sei \maabb {\varphi_2} {M_2} {N_2 } {} eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist $M= \emptyset \times M_2 = \emptyset$ und $N= \emptyset \times N_2 = \emptyset$ und daher ist die Produktabbildung
\mathl{\varphi= \varphi_1 \times \varphi_2}{} ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle $\varphi_i$ surjektiv sind.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

}
{

Es sei $x$ der Preis für ein Schneeglöckchen und $y$ der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y }
{ =} { 2{,}50 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x +2y }
{ =} {2{,}30 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x }
{ =} { -2{,}10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0{,}30 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {0{,}40 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot 0{,}3 + 11 \cdot 0{,}4 }
{ =} { 4{,}70 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{

Ein \definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{} sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y }
{ \leq} {-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x }
{ \leq} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lineares Ungleichungssystem.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Lineares Ungleichungssystem.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

a) Wir lösen jeweils nach $y$ auf und erhalten die vier Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \geq} { -x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y }
{ \geq} { x-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \leq} { { \frac{ 2 }{ 5 } } x + { \frac{ 3 }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.

b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen \zusatzklammer {die zu den Ungleichungen gehören} {} {} gegeben sind. Diese sind
\mathdisp {(0,0),\, \left( 0 , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } \right), \, \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } \right) ,\, \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } , \, - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} c \\a\\ b \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} b \\c\\ a \end{pmatrix} }
{ \in} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man gebe Beispiele für
\mathl{a,b,c}{} derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension
\mathl{0,1,2,3}{} besitzt.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ = }{c }
{ = }{0 }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension $0$ besitzt.

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ = }{c }
{ = }{1 }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann steht hier dreimal der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}}{} und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension $1$.

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann liegen die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 \\0\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}} { }
vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, sodass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal $2$ sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau $2$.

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{c }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann liegt die Standardbasis vor und der erzeugte Vektorraum ist $\R^3$, also dreidimensional.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2 } {.}

}
{

Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {I \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x +3y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,-w =0} { }

\mathdisp {II \, \, \, \, \, \, 4x +2y +2z + 5w =0} { . }
Es ist
\mathdisp {III=II - 2 \cdot I \, \, \, \, \, \, -4y +2z + 7w =0} { . }
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.

Wir wählen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach III und nach I ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ = }{ - { \frac{ 3 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix}} { }
eine Lösung.

Wir wählen jetzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach III und nach I ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ =} { - { \frac{ 17 }{ 8 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang $2$ besitzt \zusatzklammer {was aus der Stufengestalt ablesbar ist} {} {,} ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
\mathdisp {{ \left\{ a \begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \R \right\} }} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Für eine $n \times n$-\definitionsverweis { Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ (a_{ij})_{ij} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(M) }
{ =} { \sum_{ \pi \in S_{ n } } \operatorname{sgn}(\pi ) a_{1 \pi (1)} \cdots a_{ n \pi( n)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta (M) }
{ =} { \delta { \left( { M^{ \text{tr} } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} direkt, ohne die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(M) }
{ = }{ \det M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu verwenden \zusatzklammer {Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden} {} {.}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { M^{ \text{tr} } } }
{ = }{ { \left( b_{ij} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{ij} }
{ = }{a_{ji} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\delta { \left( { M^{ \text{tr} } } \right) } }
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{i = 1}^n b_{i \pi (i)} }
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{i = 1}^n a_{ \pi (i) i} }
{ =} { \sum_{\rho = \pi^{-1} \in S_n} \operatorname{sgn}(\rho^{-1} ) \prod_{i = 1}^n a_{ \rho^{-1} (i) i} }
{ =} { \sum_{\rho \in S_n} \operatorname{sgn}(\rho ) \prod_{j = 1}^n a_{ j \rho(j) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\delta (M) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixiertes Element.

a) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid F(a) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist.


b) Bestimme ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { (P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

a) Es ist
\mathl{0 \in {\mathfrak a}}{.} Für
\mathl{F,G \in {\mathfrak a}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(F+G)(a) }
{ =} {F(a)+ G(a) }
{ =} {0+0 }
{ =} {0 }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mathl{F+G \in {\mathfrak a}}{.} Für
\mathl{F \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{H \in K[X]}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(HF)(a) }
{ =} {H(a) F(a) }
{ =} {H(a)0 }
{ =} {0 }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mathl{HF \in {\mathfrak a}}{.}

b) Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { (X-a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das Polynom
\mathl{X-a}{} gehört offenbar zu ${\mathfrak a}$ und damit gehört auch das von
\mathl{X-a}{} erzeugte Hauptideal
\mathl{(X-a)}{} zu ${\mathfrak a}$. Es sei umgekehrt
\mathl{F \in {\mathfrak a}}{.} Die Division mit Rest ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { (X-a)Q +R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $R$ konstant ist. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {F(a) }
{ =} { (a-a)Q(a) +R(a) }
{ =} { R(a) }
{ } { }
} {}{}{} und da $R$ konstant ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Also ist
\mathl{F \in (X-a)}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und \maabbdisp {\varphi_i} { V_i } { V_i } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu $\varphi_k$ für ein bestimmtes $k$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert zur \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n } {} ist.

}
{

Wir betrachten den Vektor
\mathdisp {w= (0 , \ldots , 0, v_k, 0 , \ldots , 0) \in V_1 \times \cdots \times V_{k-1} \times V_k \times V_{k+1} \times \cdots \times V_n} { . }
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_k }
{ \neq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist dieser Vektor nicht $0$. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n) (w) }
{ =} { (\varphi_1(0) , \ldots , \varphi_{k-1}( 0) , \varphi_k(v_k) , \varphi_{k+1} ( 0) , \ldots , \varphi_n( 0) ) }
{ =} {(0 , \ldots , 0, a v_k, 0 , \ldots , 0) }
{ =} {a (0 , \ldots , 0, v_k, 0 , \ldots , 0) }
{ } { }
} {} {}{,} also liegt ein Eigenvektor von $\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n$ zum Eigenwert $a$ vor.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{7 (3+4)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix über einem Körper $K$.

a) Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.


b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.

}
{

a) Es sei
\mathbed {v \in K^2} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {.} Wenn $v$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zu $M$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, so ergänzen wir $v$ durch einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ K^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch $M$ gegebene lineare Abbildung durch eine zu $M$ ähnliche Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & r \\ 0 & s \end{pmatrix}} { }
beschrieben, es gibt also darin mindestens eine $0$. Wenn hingegen $v$ kein Eigenvektor ist, so sind \mathkor {} {v} {und} {w \defeq \varphi(v)} {} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} und bilden eine Basis des $K^2$. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & r \\ 1 & s \end{pmatrix}} { }
beschrieben.

b) Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$ und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine $0$ vorkommt. Es sei $N$ eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche \definitionsverweis {Spur}{}{,} die gleiche \definitionsverweis {Determinante}{}{} und das gleiche \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} wie $M$. Da die Determinante von $M$ gleich $1$ ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von $N$ zweimal eine $0$ stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur $0$ sein müsste, diese ist aber $2$. Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre $N$ eine Diagonalmatrix und $M$ wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach Beispiel 22.12 nicht der Fall.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.

}
{

Wir fassen die Matrix
\mathl{X E_{ n } - M}{} als eine Matrix auf, deren Einträge im \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K(X)}{} liegen. Die \definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{}
\mathdisp {(X E_{ n } - M)^{ \operatorname{adj} }} { }
liegt ebenfalls in
\mathl{\operatorname{Mat}_{ n } (K(X))}{.} Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition \definitionsverweis {Determinanten}{}{} von
\mathl{(n-1) \times (n-1)}{-}Untermatrizen von
\mathl{X E_{ n } - M}{.} In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der
\mathl{(n-1)}{-}ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ (X E_{ n } - M) ^{ \operatorname{adj} } }
{ =} { X^{n-1} A_{n-1} + X^{n-2} A_{n-2} + \cdots + XA_1 + A_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Matrizen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_i }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu
\mathl{X^{i}}{} die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M } E_{ n } }
{ =} { (X E_{ n } -M) \circ (X E_{ n } -M)^{ \operatorname{adj} } }
{ =} { (X E_{ n } -M) \circ ( X^{n-1} A_{n-1} + X^{n-2} A_{n-2} \bruchhilfealign + \cdots + XA_1 + A_0 ) }
{ =} { X^n A_{n-1} + X^{n-1} ( A_{n-2} - M \circ A_{n-1} ) \bruchhilfealign + X^{n-2} ( A_{n-3} - M \circ A_{n-2} ) \bruchhilfealign + \cdots + X^{1} ( A_{0} - M \circ A_{1} ) - M \circ A_0 }
{ } { }
} {} {}{.} Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \chi_{ M } E_{ n } }
{ =} { X^n E_{ n } + X^{n-1} c_{n-1} E_{ n } + X^{n-2} c_{n-2} E_{ n } + \cdots + X^{1} c_{1} E_{ n } + c_0 E_{ n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
\mathdisp {\begin{matrix} E_{ n } & = & A_{n-1} \\ c_{n-1} E_{ n } & = & A_{n-2} - M \circ A_{n-1} \\ c_{n-2} E_{ n } & = & A_{n-3} - M \circ A_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} E_{ n } & = & A_{0} - M \circ A_{1} \\ c_{0} E_{ n } & = & - M \circ A_0 \, . \end{matrix}} { }
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit
\mathl{M^n, M^{n-1}, M^{n-2} , \ldots , M^1 , E_{ n }}{} und erhalten das Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} M^n & = & M^n \circ A_{n-1} \\ c_{n-1} M^{n-1} & = & M^{n-1} \circ A_{n-2} - M^n \circ A_{n-1} \\ c_{n-2} M^{n-2} & = & M^{n-2} \circ A_{n-3} - M^{n-1} \circ A_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} M^1 & = & M A_{0} - M^2 \circ A_{1} \\ c_{0} E_{ n } & = & - M \circ A_0 \, . \end{matrix}} { }
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade
\mathl{\chi_{ M }\, (M)}{.} Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$, da jeder Teilsummand
\mathl{M^{i+1} \circ A_{i}}{} einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (M) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+2+2)}
{

Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$.

a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} welche nicht?

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M -5 E_3 }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix mit Rang $2$, daher ist der \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $5$ eindimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { . }

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent, allerdings ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 10 & 15 \\ 0 & 0 & 30 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 10 & 12 \\ 0 & 0 & 24 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Bestimme, ob im $\R^3$ der Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 6 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 9 \\0\\ 9 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 5 } } \begin{pmatrix} 5 \\5\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{} ist.

}
{

Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } }
{ =} { { \frac{ 15+10+6 }{ 30 } } }
{ =} {{ \frac{ 31 }{ 30 } } }
{ \neq} {1 }
{ } { }
} {}{}{} liegt keine baryzentrische Kombination vor.


}