Lösung
- Man nennt die Menge
-

die Produktmenge der Mengen
und
.
- Man nennt die durch
-
gemäß
Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
definierte lineare Abbildung
die durch
festgelegte lineare Abbildung.
- Die Abbildung
werde bezüglich einer Basis durch die
Matrix
beschrieben. Dann nennt man
-

die Determinante der linearen Abbildung
.
- Das
Einheitsideal
in einem
kommutativen Ring
ist der Ring selbst.
- Den Exponenten des linearen Polynoms
im
charakteristischen Polynom
nennt man die
algebraische Vielfachheit
von
.
- Eine Teilmenge
heißt
affiner Unterraum,
wenn
-

ist, mit einem Punkt
und einem
-
Untervektorraum
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über isomorphe Vektorräume.
- Der Nulltest mittels Linearformen.
- Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
Lösung
Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus
folgt
“.
Lösung
Es seien
und
nichtleere Mengen und
-
Abbildungen für
. Es sei
,
, und
die Produktabbildung, also
-
a) Zeige, dass
genau dann surjektiv ist, wenn alle
surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
Lösung
a) Es seien alle
surjektiv und sei
. Zu jedem
gibt es ein
mit
. Daher ist
ein Urbild von
unter
.
Es sei umgekehrt
surjektiv, und sei
gegeben. Da die
alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein
. Wir setzen
-
Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild
. Für die
-te Komponente davon muss
gelten.
b) Es sei
, sei
die leere Abbildung und seien
und
irgendwelche
(nichtleere)
Mengen und sei
eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist
und
und daher ist die Produktabbildung
ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle
surjektiv sind.
Lösung
Es sei
der Preis für ein Schneeglöckchen und
der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
-

und
-

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
-

und damit
-

Daraus ergibt sich
-

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
-

Ein
lineares Ungleichungssystem
sei durch die Ungleichungen
-

-

-

-

gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
Lösung
a) Wir lösen jeweils nach
auf und erhalten die vier Ungleichungen
-

-

-

-

Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.
b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen
(die zu den Ungleichungen gehören)
gegeben sind. Diese sind
-
Es seien
reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
-

Man gebe Beispiele für
derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension
besitzt.
Lösung
Sei
.
Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension
besitzt.
Sei
.
Dann steht hier dreimal der Vektor
und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension
.
Sei
,
und
.
Dann liegen die Vektoren
-
vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, sodass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal
sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau
.
Sei
und
.
Dann liegt die Standardbasis vor und der erzeugte Vektorraum ist
, also dreidimensional.
Bestimme den Kern der durch die Matrix
-

gegebenen linearen Abbildung
-
Lösung
Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
-
Es ist
-
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.
Wir wählen
und
.
Dann ist
nach III und nach I ist
.
Damit ist
-
eine Lösung.
Wir wählen jetzt
und
.
Dann ist
nach III und nach I ist
-

Damit ist
-
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang
besitzt
(was aus der Stufengestalt ablesbar ist),
ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
-
Lösung
Lösung
a) Es ist
.
Für
ist
-

also
.
Für
und
ist
-

also
.
b) Wir behaupten
-

Das Polynom
gehört offenbar zu
und damit gehört auch das von
erzeugte Hauptideal
zu
. Es sei umgekehrt
.
Die Division mit Rest ergibt
-

wobei
konstant ist. Aus
folgt
-

und da
konstant ist, folgt
.
Also ist
.
Lösung
Wir betrachten den Vektor
-
Wegen
-

ist dieser Vektor nicht
. Es ist

also liegt ein Eigenvektor von
zum Eigenwert
vor.
Es sei
-

eine Matrix über einem Körper
.
a) Zeige, dass es eine zu
ähnliche Matrix
gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich
ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu
ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich
sind.
Lösung
a) Es sei
,
.
Wenn
ein
Eigenvektor
zu
zum Eigenwert
ist, so ergänzen wir
durch einen Vektor
zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch
gegebene lineare Abbildung durch eine zu
ähnliche Matrix der Form
-
beschrieben, es gibt also darin mindestens eine
. Wenn hingegen
kein Eigenvektor ist, so sind
und
linear unabhängig
und bilden eine Basis des
. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form
-
beschrieben.
b) Wir betrachten die Matrix
-

über
und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine
vorkommt. Es sei
eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche
Spur,
die gleiche
Determinante
und das gleiche
charakteristische Polynom
wie
. Da die Determinante von
gleich
ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von
zweimal eine
stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur
sein müsste, diese ist aber
. Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre
eine Diagonalmatrix und
wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach
Beispiel 22.12
nicht der Fall.
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
Lösung
Wir fassen die Matrix
als eine Matrix auf, deren Einträge im
Körper
liegen. Die
adjungierte Matrix
-
liegt ebenfalls in
. Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition
Determinanten
von
-Untermatrizen von
. In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable
maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der
-ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
-

mit Matrizen
-

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynome in
und fasst dann die Koeffizienten zu
zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von
Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
gilt

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von
aufteilen, dann ist
-

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
-
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit
und erhalten das Gleichungssystem
-
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade
. Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir
, da jeder Teilsummand
einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist
.
Wir betrachten die Matrix
-

über
.
a) Bestimme die
jordansche Normalform
von
.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von
in einen
diagonalisierbaren
Anteil und einen
nilpotenten
Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
-

welche nicht?
Lösung
a) Es ist
-

eine Matrix mit Rang
, daher ist der
Eigenraum
zum
Eigenwert
eindimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
-
b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
-

Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
-

und
-

sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.
c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent, allerdings ist
-

und
-

Bestimme, ob im
der Ausdruck
-
eine
baryzentrische Kombination
ist.
Lösung
Wegen
-

liegt keine baryzentrische Kombination vor.