Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 5 2 4 5 4 4 5 2 7 10 6 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Die durch eine -Matrix festgelegte lineare Abbildung

    zwischen -Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .

  3. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .

  4. Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring .
  5. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Ein affiner Unterraum in einem affinen Raum über dem -Vektorraum .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Man nennt die durch

    gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.

  3. Die Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .

  4. Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ist der Ring selbst.
  5. Den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom nennt man die algebraische Vielfachheit von .
  6. Eine Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn

    ist, mit einem Punkt und einem -Untervektorraum .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über isomorphe Vektorräume.
  2. Der Nulltest mittels Linearformen.
  3. Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Dann sind und zueinander isomorph genau dann, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
  2. Es sei ein -Vektorraum und es sei ein von verschiedener Vektor. Dann gibt es eine Linearform mit .
  3. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

    eine lineare Abbildung. Es sei . Dann ist


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.


Lösung

Man möchte zeigen, dass aus einer Aussage eine weitere Aussage folgt. Beim Beweis durch Widerspruch nimmt man an, dass gleichzeitig und nicht gelten. Unter diesen Voraussetzungen zeigt man, dass sich ein Widerspruch ergibt. Dies bedeutet, dass und nicht nicht gleichzeitig gelten können, was eben die Implikation bedeutet.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es seien und nichtleere Mengen und

Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also

a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.


Lösung

a) Seien alle surjektiv und sei . Zu jedem gibt es ein mit . Daher ist ein Urbild von unter .

Sei umgekehrt surjektiv, und sei gegeben. Da die alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein . Wir setzen

Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild . Für die -te Komponente davon muss gelten.

b) Sei , sei die leere Abbildung und seien und irgendwelche (nichtleere) Mengen und sei eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist und und daher ist die Produktabbildung ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle surjektiv sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Lösung

Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt

und

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man

und damit

Daraus ergibt sich

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.


Lösung

Lineares Ungleichungssystem.png

a) Wir lösen jeweils nach auf und erhalten die vier Ungleichungen

Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.

b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen (die zu den Ungleichungen gehören) gegeben sind. Diese sind


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

Man gebe Beispiele für derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.


Lösung

Sei . Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension besitzt.

Sei . Dann steht hier dreimal der Vektor und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension .

Sei , und . Dann liegen die Vektoren

vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, so dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau .

Sei und . Dann liegt die Standardbasis vor und der erzeugte Vektorraum ist , also dreidimensional.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Lösung

Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

Es ist

Damit haben wir Stufengestalt erreicht.

Wir wählen und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist

eine Lösung.

Wir wählen jetzt und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist

eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang besitzt (was aus der Stufengestalt ablesbar ist), ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Für eine -Matrix sei

Zeige die Gleichheit

direkt, ohne die Gleichheit zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).


Lösung

Es sei und mit . Dann ist


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element.

a) Zeige, dass

ein Ideal ist.

b) Bestimme ein Polynom mit


Lösung

a) Es ist . Für ist

also . Für und ist

also .

b) Wir behaupten

Das Polynom gehört offenbar zu und damit gehört auch das von erzeugte Hauptideal zu . Sei umgekehrt . Die Division mit Rest ergibt

wobei konstant ist. Aus folgt

und da konstant ist, folgt . Also ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Vektorräume über dem Körper und

lineare Abbildungen. Es sei ein Eigenwert zu für ein bestimmtes . Zeige, dass auch ein Eigenwert zur Produktabbildung

ist.


Lösung

Wir betrachten den Vektor

Wegen

ist dieser Vektor nicht . Es ist

also liegt ein Eigenvektor von zum Eigenwert vor.


Aufgabe (7 (3+4) Punkte)

Es sei

eine Matrix über einem Körper .

a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.


Lösung

a) Es sei , . Wenn ein Eigenvektor zu zum Eigenwert ist, so ergänzen wir durch einen Vektor zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch gegebene lineare Abbildung durch eine zu ähnliche Matrix der Form

beschrieben, es gibt also darin mindestens eine . Wenn hingegen kein Eigenvektor ist, so sind und linear unabhängig und bilden eine Basis des . Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form

beschrieben.

b) Wir betrachten die Matrix

über und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine vorkommt. Es sei eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche Spur, die gleiche Determinante und das gleiche charakteristische Polynom wie . Da die Determinante von gleich ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von zweimal eine stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur sein müsste, diese ist aber . Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre eine Diagonalmatrix und wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach Beispiel 22.12 nicht der Fall.


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.


Lösung

Wir fassen die Matrix als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper liegen. Die adjungierte Matrix

liegt ebenfalls in . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von -Untermatrizen von . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable maximal in der ersten Potenz vor, so dass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben

mit Matrizen

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) gilt

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von aufteilen, dann ist

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen

Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit und erhalten das Gleichungssystem

Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir , da jeder Teilsummand einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist .


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über .

a) Bestimme die jordansche Normalform von .

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

welche nicht?


Lösung

a) Es ist

eine Matrix mit Rang , daher ist der Eigenraum zum Eigenwert eindimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist

Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist

und

so dass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent, allerdings ist

und


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob im der Ausdruck

eine baryzentrische Kombination ist.


Lösung

Wegen

liegt keine baryzentrische Kombination vor.