Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jede \definitionsverweis {endliche Permutation}{}{} durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die \definitionsverweis {Permutation}{}{} \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } }
{\mazeileunddrei { 6 } { 7 } {8 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf { 2 } { 5 } { 7 } { 3 } { 1 } }
{\mazeileunddrei { 4 } { 8 } {6} } die Anzahl der \definitionsverweis {Fehlstände}{}{} und das \definitionsverweis {Vorzeichen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die \definitionsverweis {Permutation}{}{} $\sigma$ mit \wertetabellezehnausteilzeilen { $P$ }
{\mazeileundfuenf { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } }
{\mazeileundfuenf { 6 } { 7 } { 8 } { 9 } {10 } }
{ $\sigma(P)$ }
{\mazeileundfuenf { 7 } {10} { 3 } { 9 } { 5 } }
{\mazeileundfuenf { 2 } { 4 } { 1 } { 8 } {6 } } die Potenzen $\sigma^2$ und $\sigma^3$. Bestimme die \definitionsverweis {Zyklendarstellung}{}{} für diese drei Permutationen an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die Permutation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{ S_7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die durch die Wertetabelle \wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } }
{\mazeileundzwei { 6 } { 7 } }
{ $\tau (x)$ }
{\mazeileundfuenf { 1 } { 3 } { 5 } { 7 } { 6 } }
{\mazeileundzwei { 4 } {2 } } gegeben ist. \aufzaehlungvierabc{Man gebe die Zyklendarstellung von $\tau$ an und bestimme den Wirkungsbereich. }{Berechne $\tau^3$ und die Ordnung von $\tau^3$. }{Bestimme die Fehlstände von $\tau$ und das Vorzeichen \zusatzklammer {Signum} {} {} von $\tau$. }{Schreibe $\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von $\tau$. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die beiden Permutationen \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } }
{\mazeileunddrei { 6 } { 7 } {8 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf { 2 } { 5 } { 3 } { 7 } { 1 } }
{\mazeileunddrei { 4 } { 8 } {6} } und \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } }
{\mazeileunddrei { 6 } { 7 } {8 } }
{ $\tau(x)$ }
{\mazeileundfuenf { 4 } { 5 } { 2 } { 8 } { 6 } }
{\mazeileunddrei { 7 } { 1 } {3} } Berechne $\sigma \tau$ und $\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {Fehlstände}{}{} und das \definitionsverweis {Vorzeichen}{}{} von $\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von $\sigma$ und von $\sigma^3$ an. Was ist die Ordnung von $\sigma$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch die Zuordnung \maabbeledisp {} { S_n \times \{1 , \ldots , n+1\} } { S_{n+1} } { (\varphi,x) } { \tilde{ \varphi} } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (k) }
{ =} { \begin{cases} \varphi(k) \text{ für } k \leq n \text{ und } \varphi(k) < x \, , \\ \varphi(k)+1 \text{ für } k \leq n \text{ und } \varphi(k) \geq x \, , \\ x \text{ für } k = n+1 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} aller $3\times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal $1$ und zweimal $0$ steht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $\pi$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (i),i} }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi }
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme mittels der \definitionsverweis {Leibniz-Formel}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 9 & 8 & 7 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

Es sei
\mathl{(G,e,\circ)}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Untergruppe}{} von $G$ wenn folgendes gilt. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \circ h }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^{-1} }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $M$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \biguplus_{i \in I} M_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Partition von $M$, d.h. jedes $M_i$ ist eine Teilmenge von $M$ und $M$ ist die disjunkte Vereinigung der $M_i$. Zeige, dass die Produktgruppe
\mathdisp {\prod_{i \in I} \operatorname{Perm} \, (M_i)} { }
eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\operatorname{Perm} \,(M)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {gerade Permutation}{}{}
\mathbed {\sigma \in S_n} {}
{n \geq 3} {}
{} {} {} {,} ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $\sigma$ ein \definitionsverweis {Zykel}{}{} der Ordnung $n$. Zeige, dass man $\sigma$ als Produkt von $n-1$ \definitionsverweis {Transpositionen}{}{} schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \geq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wie viele injektive Abbildungen gibt es von ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$ nach $\{ 1 , \ldots , m \}$ und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$ nach $\{ 1 , \ldots , m \}$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme mittels der \definitionsverweis {Leibniz-Formel}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 3 & 1 \\ 6 & 8 & 2 \\ 7 & 5 & 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}