Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 19

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass die Multiplikation auf assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom neutrales Element der Multiplikation ist.


Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die komplexe Zahl ersetzt.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Der Körper wurde in Beispiel 3.9 vorgestellt.

Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe *

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe *

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge

wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.


Aufgabe *

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.


Aufgabe *

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge

wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.


Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen und der beiden rationalen Funktionen




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.


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