Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass man jede endliche Permutation durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne für die Permutation

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$\sigma (x)$	$2$	$5$	$7$	$3$	$1$	$4$	$8$	$6$

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.

Aufgabe

Berechne für die Permutation $\sigma$ mit

$P$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$\sigma (P)$	$7$	$10$	$3$	$9$	$5$	$2$	$4$	$1$	$8$	$6$

die Potenzen ${\sigma }^2$ und ${\sigma }^3$. Bestimme die Zyklendarstellung für diese drei Permutationen.

Aufgabe *

Betrachte die Permutation  $\tau \in S_7$,  die durch die Wertetabelle

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$\tau (x)$	$1$	$3$	$5$	$7$	$6$	$4$	$2$

gegeben ist.

a) Man gebe die Zyklendarstellung von $\tau$ an und bestimme den Wirkungsbereich.

b) Berechne ${\tau }^3$ und die Ordnung von ${\tau }^3$.

c) Bestimme die Fehlstände von $\tau$ und das Vorzeichen (Signum) von $\tau$.

d) Schreibe $\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von $\tau$.

Aufgabe *

Betrachte die beiden Permutationen

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$\sigma (x)$	$2$	$5$	$3$	$7$	$1$	$4$	$8$	$6$

und

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$\tau (x)$	$4$	$5$	$2$	$8$	$6$	$7$	$1$	$3$

Berechne $\sigma \tau$ und $\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von $\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von $\sigma$ und von ${\sigma }^3$ an. Was ist die Ordnung von $\sigma$?

Aufgabe

Zeige, dass durch die Zuordnung

$S_n\times \{1,\dots ,n+1\}⟶S_{n+1},(\phi ,x)⟼\tilde{\phi },$

mit

$\tilde{\phi }(k)=\{\begin{array}{c}\phi (k)\text{ für }k\le n\text{ und }\phi (k)<x,\\ \phi (k)+1\text{ für }k\le n\text{ und }\phi (k)\ge x,\\ x\text{ für }k=n+1,\end{array}$

eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.

Aufgabe

Berechne die Determinanten aller $3\times 3$-Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal $1$ und zweimal $0$ steht.

Aufgabe

Es sei  $M=\{1,\dots ,n\}$  und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Die zugehörige Permutationsmatrix $M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass

$a_{\pi (i),i}=1$

ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass

$det{M}_{\pi }=\mathrm{sgn}(\pi )$

ist.

Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 9& 8& 7\\ 1& 2& 3\end{array}\right).$

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge  $H\subseteq G$  heißt Untergruppe von $G$, wenn Folgendes gilt.

1.  $e\in H$. 
2. Mit  $g,h\in H$  ist auch  $g\circ h\in H$. 
3. Mit  $g\in H$  ist auch  $g^{-1}\in H$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $M$ eine Menge und sei  $M=\underset{i\in I}{⨄}{M}_i$  eine Partition von $M$, d.h. jedes $M_i$ ist eine Teilmenge von $M$ und $M$ ist die disjunkte Vereinigung der $M_i$. Zeige, dass die Produktgruppe

$\prod _{i\in I}\mathrm{Perm}(M_i)$

eine Untergruppe von $\mathrm{Perm}(M)$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation $\sigma \in S_n$, $n\ge 3$, ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $\sigma$ ein Zyklus der Ordnung $n$. Zeige, dass man $\sigma$ als Produkt von $n-1$ Transpositionen schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $m\ge n$.  Wie viele injektive Abbildungen gibt es von $\{1,\dots ,n\}$ nach $\{1,\dots ,m\}$ und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von $\{1,\dots ,n\}$ nach $\{1,\dots ,m\}$?

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}6& 3& 1\\ 6& 8& 2\\ 7& 5& 4\end{array}\right).$