Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass man jede endliche Permutation durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne für die Permutation

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.


Aufgabe

Berechne für die Permutation mit

die Potenzen und und gebe die Zyklendarstellung für diese drei Permutationen an.


Aufgabe *

Betrachte die Permutation , die durch die Wertetabelle

gegeben ist.

  1. Man gebe die Zyklendarstellung von an und bestimme den Wirkungsbereich.
  2. Berechne und die Ordnung von .
  3. Bestimme die Fehlstände von und das Vorzeichen (Signum) von .
  4. Schreibe als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von .


Aufgabe *

Betrachte die beiden Permutationen

und

Berechne und . Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von . Man gebe die Zyklendarstellung von und von an. Was ist die Ordnung von ?


Aufgabe

Zeige, dass durch die Zuordnung

mit

eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.


Aufgabe

Berechne die Determinanten aller -Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal und zweimal steht.


Aufgabe

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix


Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Menge und sei eine Partition von , d.h. jedes ist eine Teilmenge von und ist die disjunkte Vereinigung der . Zeige, dass die Produktgruppe

eine Untergruppe von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation , , ein Produkt aus Dreierzykeln ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Zykel der Ordnung . Zeige, dass man als Produkt von Transpositionen schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Wie viele injektive Abbildungen gibt es von nach und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von nach ?


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix



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