Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex

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\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, ob der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\1\\ -1 \end{pmatrix}}{} ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & -5 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\4 & -3 & 5 \end{pmatrix}} { }
ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Was sind bei einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K} {K } {} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} von $\varphi$?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {\varphi, \psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {Endomorphismen}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und es sei $v \in V$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $\varphi$ und von $\psi$. Zeige, dass $v$ auch ein Eigenvektor von $\varphi \circ \psi$ ist. Was ist der Eigenwert?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {,} die durch eine Matrix der Form
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der erste \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} ein Eigenvektor zu einer jeden \definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{} ist. Was ist der \definitionsverweis {Eigenwert}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu $M$ ein Diagonaleintrag von $M$ sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} derart, dass $\varphi$ keine \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} besitzt, dass aber eine gewisse \definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mathbed {\varphi^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {,} Eigenwerte besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ 2 } ({\mathbb C}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mindestens einen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ =} { \operatorname{Eig}_{ 0 } { \left( \varphi \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {Eigenraum}{}{.} Zeige, dass sich $\varphi$ zu einer linearen Abbildung \maabbeledisp {\varphi {{|}}_U} {U} {U } {v} {\varphi(v) } {,} einschränken lässt, und dass diese Abbildung die \definitionsverweis {Streckung}{}{} um den Stre\-ckungsfaktor $\lambda$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} $V$ mit der \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $\varphi^{-1}$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$ ist, wenn
\mathl{a^{-1}}{} ein Eigenwert von
\mathl{\varphi^{-1}}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass $P(\lambda)$ ein Eigenwert von $P(\varphi)$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Es sei $a \in K$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu $\varphi_k$ für ein bestimmtes $k$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert zur \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n } {} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu einer durch eine Matrix der Form
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} gegebenen \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^2} {K^2 } {} ist, wenn $\lambda$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} des Polynoms
\mathdisp {X^2 -(a+d)X + ad-cb} { }
ist.

}
{} {}

Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$ besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung
\mathl{f \mapsto f'}{} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} von $V$ nach $V$ ist.


b) Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{\zusatzfussnote {In diesem Zusammenhang spricht man auch von \stichwort {Eigenfunktionen} {}} {.} {.}}


c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} und deren \definitionsverweis {Dimension}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und sei $v \in V$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zu $\varphi$ zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mathl{\lambda \in K}{.} Es sei \maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{} zu $\varphi$. Wir betrachten Basen von $V$ der Form
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{} mit der Dualbasis
\mathl{v^*, u_1^* , \ldots , u_r^*}{.} Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) $v^*$ ist Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$ zum Eigenwert $\lambda$ unabhängig von
\mathl{u_1 , \ldots , u_r}{.}

b) $v^*$ ist Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$ zum Eigenwert $\lambda$ bezüglich einer Basis
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{,} aber nicht bezüglich einer Basis
\mathl{v, w_1 , \ldots , w_r}{.}

c) $v^*$ ist bezüglich keiner Basis
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{} ein Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,} ein fixierter Vektor. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R(v) }
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } \mid v \text{ ist Eigenvektor zu } \varphi \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} ist. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} dieses Raumes.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{c \in K}{} und
\mathl{a= \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \in K^n}{} ein von $0$ verschiedener Vektor. Erstelle ein \definitionsverweis {inhomogenes lineares Gleichungssystem}{}{,} dessen \definitionsverweis {Lösungsmenge}{}{} genau diejenigen $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} sind, für die $a$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $c$ ist. Was ist das Besondere an diesem Gleichungssystem und welche Dimension hat die Lösungsmenge?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {reelle}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Es sei
\mathl{a \in \R}{} eine reelle Zahl, die ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $M$ ist, wenn man diese als eine komplexe Matrix auffasst. Zeige, dass $a$ schon im Reellen ein Eigenwert von $M$ ist.

}
{} {} Man verallgemeinere die vorstehende Aufgabe für eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Homothety_in_two_dim.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Homothety in two dim.svg } {} {Lantonov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Streckung}{}{} ist, wenn jeder Vektor $v \in V, \, v \neq 0,$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $\varphi$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $M$ als reelle Matrix keine \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} von $M$ als \definitionsverweis {komplexer}{}{} Matrix.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Betrachte die \definitionsverweis {reellen}{}{} \definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man charakterisiere in Abhängigkeit von $a,b,c,d$, wann eine solche Matrix \aufzaehlungvier{zwei verschiedene \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,} }{einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen \definitionsverweis {Eigenraum}{}{,} }{einen Eigenwert mit einem eindimensionalen \definitionsverweis {Eigenraum}{}{,} }{keinen Eigenwert, } besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^n }
{ =} { \operatorname{Id}_{ V } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für ein gewisses
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{\zusatzfussnote {Der Wert
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist hier erlaubt, aber aussagelos} {.} {.}} Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ von $\varphi$ die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei $\lambda \neq 0$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$ und $v$ ein zugehöriger \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{.} Zeige, dass es zu einer gegebenen \definitionsverweis {Basis}{}{} $v, u_2 , \ldots , u_n$ von $V$ eine Basis $v, w_2 , \ldots , w_n$ gibt mit $\langle v, u_j \rangle = \langle v,w_j \rangle$ und mit
\mathdisp {\varphi(w_j) \in \langle u_i ,\, i = 2 , \ldots , n \rangle} { }
für alle $j=2 , \ldots , n$.

Zeige ebenso, dass dies bei $\lambda =0$ nicht möglich ist.

}
{} {}



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