Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 22

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte, die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten zur Matrix




Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Eigenraum und die geometrische Vielfachheit zu zur Matrix


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal viele Eigenwerte zu gibt.


Aufgabe

Man gebe zu einem und einem , , eine -Matrix über an, deren einziger Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit ist.


Aufgabe *

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.


Aufgabe

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von die Summe der Eigenwerte ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der Exponent, mit dem im Minimalpolynom zu vorkommt, sowohl kleiner als auch größer als die geometrische Vielfachheit von sein kann.


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.


Aufgabe

Es sei eine invertierbare Matrix über . Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn die inverse Matrix diagonalisierbar ist.


Aufgabe

Bestimme, welche Elementarmatrizen diagonalisierbar sind.


Aufgabe

Zeige, dass eine Projektion diagonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein diagonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Polynom. Zeige, dass ebenfalls diagonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei eine diagonalisierbare Matrix. Zeige, dass das Minimalpolynom von die Form

mit verschiedenen besitzt.

Die Umkehrung der vorstehenden Aufgabe gilt ebenfalls, siehe Aufgabe 28.2.



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper und

lineare Abbildungen und es sei

die Produktabbildung. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn dies für alle gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und

die duale Abbildung. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn diagonalisierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist, nicht aber über . Führe die Diagonalisierung über durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über dem

Körper mit zwei Elementen nicht diagonalisierbar ist.


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