Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20

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Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!




Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe

Finde für die folgenden drei Mengen

(die alle die Form besitzen)

jeweils ein Polynom

(mit Koeffizienten ) mit


Aufgabe *

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Aufgabe

Es sei

ein Endomorphismen auf einem -Vektorraum und ein Polynom. Zeige, dass die Gleichheit

im Allgemeinen nicht gilt.


Aufgabe *

Zu einer -Matrix sei

Zeige, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die Menge

ein Hauptideal im Polynomring ist, das vom Minimalpolynom erzeugt wird.


Aufgabe

Es sei eine Matrix mit dem Minimalpolynom . Zeige, dass die Streckung mit dem Streckungsfaktor ist.


Aufgabe

Wir besprechen die Minimalpolynome zu den Elementarmatrizen.

a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix gleich ist.

b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix mit gleich

ist.

c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix von der Form

ist. Was ist dabei ?


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu drei Möglichkeiten gibt, nämlich und .


Aufgabe *

Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine -Matrix über gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom mit dem Minimalpolynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.


Aufgabe *

Es sei eine -Matrix über mit dem Minimalpolynom . Es sei

eine Faktorzerlegung in Polynome von positivem Grad. Zeige, dass nicht bijektiv ist.


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

die durch festgelegt ist. Zeige, dass nur vom Nullpolynom annulliert wird.




Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

ein Endomorphismus auf einem -Vektorraum und

ein Isomorphismus. Zeige, dass für jedes Polynom die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht.

  1. Ist wachsend?
  2. Ist surjektiv?
  3. Ist injektiv?
  4. Besitzt einen Fixpunkt?




Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)


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