Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 49/latex

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\setcounter{section}{49}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg } {Börnsen} {NobbiP} {Commons} {gemeinfrei} {}




\inputaufgabe
{}
{

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Gibt es Gründe, für Linkshänder andere Schrauben anzufertigen als für Rechtshänder?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Gilt die Rechte-Hand-Regel auch für Linkshänder?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass auf der Menge der \zusatzklammer {geordneten} {} {} \definitionsverweis {Basen}{}{} die \definitionsverweis {Orientierungsgleichheit}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist, die bei
\mathl{V \neq 0}{} aus genau zwei \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} besteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $V \neq 0$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis { Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Zeige, dass wenn man einen Vektor $v_i$ durch sein Negatives $-v_i$ ersetzt, dass dann die neue Basis die \definitionsverweis { entgegengesetzte Orientierung}{}{} repräsentiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die beiden \definitionsverweis {Basen}{}{} des $\R^2$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ -3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\7\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\5\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -6 \\0\\ 11 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x \\5\\ 7 \end{pmatrix}} { . }

a) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des $\R^3$ repräsentieren?

b) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V$ und $W$ zwei \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist, wenn es eine die \definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentierende \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gibt, deren Bildvektoren
\mathl{\varphi(v_1) , \ldots , \varphi(v_n)}{} die Orientierung auf $W$ repräsentieren.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $\pi$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$ und $M_\pi$ die zugehörige \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{.} Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi) }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {linie.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { linie.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit
\mathl{A,B,C}{} zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Snijden_kruisen_evenwijdig.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Snijden kruisen evenwijdig.png } {} {MADe} {nl.wikipedia} {cc-by-sa 3.0} {}




\inputaufgabe
{}
{

Welche Zahlen treten als \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} von eigentlichen Wür\-felsymmetrien auf? Beschreibe die Wirkungsweise der Symmetrie auf den Eckpunkten, den Kanten und den Seiten des Würfels sowie auf den Raumdiagonalachsen, den Seitenmittelpunktsachsen und den Kantenmittelpunktsachsen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die vier Bewegungen an einem Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ in Matrixschreibweise, die $(1,0,0)$ auf $(0,0,-1)$ abbilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von $1$ bis $6$ zu nummerieren, so dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets $7$ ergibt?

}
{Wie viele Möglichkeiten gibt es überhaupt?} {}




\inputaufgabe
{}
{

Die Ecken $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ eines Würfels seien mit $1,2,3, \ldots ,8$ (oder ähnlich) bezeichnet (Skizze!). Beschreibe durch Wertetabellen, wie die folgenden (eigentlichen oder uneigentlichen) Würfelsymmetrien die Eckpunkte permutieren: \aufzaehlungdrei{ $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, }{ $\begin{pmatrix} -1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, }{ $\begin{pmatrix} 0& 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. }

}
{Was passiert mit den Kantenmittelpunkten unter diesen Bewegungen?} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $W$ der Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$. Fixiere eine Kantenmittelpunktachse (durch den Nullpunkt). Welche Bewegungen des Würfels lassen sich als Drehung um diese Achse beschreiben? Wie sehen diese Bewegungen in Matrixschreibweise aus, und was passiert dabei mit den Eckpunkten des Würfels?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koordinaten eines Tetraeders, bei dem der Nullpunkt der Mittelpunkt ist, die vier Eckpunkte des Tetraeders vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen, der Punkt
\mathl{(0,0,1)}{} ein Eckpunkt ist und ein weiterer Eckpunkt Koordinaten der Form $(u,0,v)$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte ein Rechteck in der Ebene, das kein Quadrat sei, und dessen Mittelpunkt der Nullpunkt sei und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen mögen. Bestimme die Matrizen, die die (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien des Rechteckes beschreiben. Erstelle eine Verknüpfungstafel für diese Symmetriegruppe.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wikt puzzle favicon.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Wikt puzzle favicon.svg } {} {Ephemeron} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere sei, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4\\ -5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\6\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -3 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\4\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\0\\ 13 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es auf $V$, aufgefasst als \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{,} eine natürliche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ und sei das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{V^n = V \times \cdots \times V}{} mit der \definitionsverweis {Produkttopologie}{}{} versehen. Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {I} {V^n } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mathdisp {\varphi(t)=(\varphi_1(t), \varphi_2(t) , \ldots , \varphi_n(t))} { }
für jedes
\mathl{t \in I}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen
\mathbed {\varphi(t)} {}
{t \in I} {}
{} {} {} {,} die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentieren.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $W$ der Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$. Es sei $\varphi$ eine Dritteldrehung um die Raumdiagonale durch \mathkor {} {(1,1,1)} {und} {(-1,-1,-1)} {.} Bestimme Ebenengleichungen für diejenigen Ebenen, auf denen je drei Eckpunkte liegen, die durch diese Drehung ineinander überführt werden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Symmetries of the tetrahedron.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Symmetries of the tetrahedron.svg } {} {Cronholm144} {Commons} {GFDL} {}


Man gebe für die in den obigen Skizzen angedeuteten Symmetrien des Tetraeders eine geeignete Matrixdarstellung.

}
{} {}

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