Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei , , eine Basis von und , , eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn , , eine Basis des Restklassenraumes ist.


Aufgabe

Wir betrachten als -Vektorraum. Man mache sich klar, dass in die Gleichheit für zwei reelle Zahlen genau dann gilt, wenn die Differenz eine rationale Zahl ist.


Aufgabe

Es sei

eine Fahne in einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige

für .


Aufgabe

Der -Vektorraum sei die direkte Summe der Untervektorräume und und es seien und Untervektorräume. Zeige


Man interpretiere die Aussage der folgenden Aufgabe im Kontext des Faktorisierungssatzes.

Aufgabe *

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang . Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum und es sei

eine lineare Abbildung und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass dies eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

auf dem Restklassenraum mit der Eigenschaft induziert, dass das Diagramm

kommutiert.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei ein -invarianter Untervektorraum. Es sei eine Basis von und eine Basis von , bezüglich der durch die Matrix beschrieben werde. Durch welche Matrix wird die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung

bezüglich der Basis von beschrieben?


Zur folgenden Aufgabe vergleiche man Aufgabe 16.21.

Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei ein -invarianter Untervektorraum. Es sei die Einschränkung von auf und

die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung. Zeige


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei ein -invarianter Untervektorraum. Es sei die Einschränkung von auf und

die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung. Zeige, dass für das charakteristische Polynom die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei der reelle Vektorraum aller Folgen. Zeige, dass die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.

  1. Die Menge der konstanten Folgen.
  2. Die Menge der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von verschieden sind.
  3. Die Menge der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind.
  4. Die Menge der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben.
  5. Die Menge der konvergenten Folgen.
  6. Die Menge der Nullfolgen.

Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen?


Aufgabe

Wir betrachten die beiden reellen Folgen

und

und wir verwenden einige Bezeichnungen aus Aufgabe 48.10.

  1. Zeige, dass die beiden Folgen und in linear unabhängig sind.
  2. Zeige, dass die beiden Folgen und in linear abhängig sind.
  3. Wie sieht es in aus?


Aufgabe

Es sei der reelle Vektorraum aller konvergenten Folgen und

der Untervektorraum der Nullfolgen. Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten als -Vektorraum und den Untervektorraum

Zeige, dass im Restklassenraum zwei komplexe Zahlen genau dann gleich werden, wenn ihre Imaginärteile übereinstimmen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und seien Untervektorräume. Es sei

die kanonische Projektion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. Für die Bildräume gilt
  2. Es ist
  3. Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform und es sei der Ausartungsraum. Zeige, dass auf dem Restklassenraum ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform mit

für alle existiert.


Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum und es sei ein Untervektorraum. Wir definieren auf eine Relation durch

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Zeige, dass ein affiner Raum über dem Restklassenraum ist.
  3. Zeige, dass die kanonische Projektion

    eine affine Abbildung ist.



<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)