Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}U$ und ${}v_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Gesamtfamilie ${}u_{i},i\in I,v_{j},j\in J$, genau dann eine Basis von ${}V$ ist, wenn ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes ${}V/U$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum. Man mache sich klar, dass in ${}\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ die Gleichheit ${}[r]=[s]$ für zwei reelle Zahlen ${}r,s$ genau dann gilt, wenn die Differenz ${}r-s$ eine rationale Zahl ist.

Aufgabe

Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}V_{i+1}/V_{i}\cong K\,$

für ${}i=0,\ldots ,n-1$.

Aufgabe

Der ${}K$- Vektorraum ${}V$ sei die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ und es seien ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ Untervektorräume. Zeige

${}V_{1}\oplus V_{2}/{\left(U_{1}\oplus U_{2}\right)}\cong V_{1}/U_{1}\oplus V_{2}/U_{2}\,.$

Man interpretiere die Aussage der folgenden Aufgabe im Kontext des Faktorisierungssatzes.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}r$. Zeige, dass es eine ${}r\times n$-Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$-Matrix ${}B$, beide mit dem Rang ${}r$, mit ${}M=B\circ A$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass dies eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$

auf dem Restklassenraum ${}V/U$ mit der Eigenschaft induziert, dass das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\V/U&{\stackrel {\varphi _{V/U}}{\longrightarrow }}&V/U&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{s}$ eine Basis von ${}U$ und ${}u_{1},\ldots ,u_{r},v_{1},\ldots ,v_{s}$ eine Basis von ${}V$, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Durch welche Matrix wird die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung

$\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$

bezüglich der Basis ${}[v_{1}],\ldots ,[v_{s}]$ von ${}V/U$ beschrieben?

Zur folgenden Aufgabe vergleiche man Aufgabe 16.21.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Es sei ${}\varphi _{U}$ die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$ und

$\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$

die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung. Zeige

${}\det \varphi =\det \varphi _{U}\cdot \det \varphi _{V/U}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Es sei ${}\varphi _{U}$ die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$ und

$\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$

die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung. Zeige, dass für das charakteristische Polynom die Beziehung

${}\chi _{\varphi }=\chi _{\varphi _{U}}\cdot \chi _{\varphi _{V/U}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}$ der reelle Vektorraum aller Folgen. Zeige, dass die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.

1. Die Menge der konstanten Folgen.
2. Die Menge ${}\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} _{+})}$ der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von ${}0$ verschieden sind.
3. Die Menge ${}F$ der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind.
4. Die Menge ${}E$ der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben.
5. Die Menge der konvergenten Folgen.
6. Die Menge ${}N$ der Nullfolgen.

Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen?

Aufgabe

Wir betrachten die beiden reellen Folgen

${}x_{n}={\begin{cases}1\,,{\text{ wenn }}n{\text{ gerade}}\,,\\0\,,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und

${}y_{n}={\begin{cases}1\,,{\text{ wenn }}n{\text{ ungerade}}\,,\\0\,,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und wir verwenden einige Bezeichnungen aus Aufgabe 48.10.

1. Zeige, dass die beiden Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ in ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} _{+})}$ linear unabhängig sind.
2. Zeige, dass die beiden Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ in ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/F$ linear abhängig sind.
3. Wie sieht es in ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/N$ aus?

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}$ der reelle Vektorraum aller konvergenten Folgen und ${}U\subseteq W$ der Untervektorraum der Nullfolgen. Zeige

${}W/U\cong \mathbb {R} \,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten ${}{\mathbb {C} }$ als ${}\mathbb {R}$- Vektorraum und den Untervektorraum

${}\mathbb {R} =\mathbb {R} \cdot 1\subset {\mathbb {C} }\,.$

Zeige, dass im Restklassenraum ${}{\mathbb {C} }/\mathbb {R}$ zwei komplexe Zahlen genau dann gleich werden, wenn ihre Imaginärteile übereinstimmen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2},U$ seien Untervektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V/U$

die kanonische Projektion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Für die Bildräume gilt

   ${}\varphi (U_{1})\cap \varphi (U_{2})=0\,.$

2. Es ist

   ${}U_{1}\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.$

3. Es ist

   ${}(U_{1}+U)\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es sei ${}T\subseteq V$ der Ausartungsraum. Zeige, dass auf dem Restklassenraum ${}V/T$ ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle '$ mit

${}\left\langle [v],[w]\right\rangle '=\left\langle v,w\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ existiert.

Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Wir definieren auf ${}E$ eine Relation ${}\sim$ durch

$P\sim Q{\text{ genau dann, wenn }}\exists v\in U{\text{ mit }}P=Q+v.$

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeige, dass ${}F:=E/\sim$ ein affiner Raum über dem Restklassenraum ${}V/U$ ist.
3. Zeige, dass die kanonische Projektion

   $E\longrightarrow E/\sim$

   eine affine Abbildung ist.