Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 48
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei , , eine Basis von und , , eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn , , eine Basis des Restklassenraumes ist.
Wir betrachten als -Vektorraum. Man mache sich klar, dass in die Gleichheit für zwei reelle Zahlen genau dann gilt, wenn die Differenz eine rationale Zahl ist.
Der - Vektorraum sei die direkte Summe der Untervektorräume und und es seien und Untervektorräume. Zeige
Man interpretiere die Aussage der folgenden Aufgabe im Kontext
des Faktorisierungssatzes.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum und es sei
eine lineare Abbildung und ein - invarianter Untervektorraum. Zeige, dass dies eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
auf dem Restklassenraum mit der Eigenschaft induziert, dass das Diagramm
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und es sei ein - invarianter Untervektorraum. Es sei eine Basis von und eine Basis von , bezüglich der durch die Matrix beschrieben werde. Durch welche Matrix wird die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung
bezüglich der Basis von beschrieben?
Zur folgenden Aufgabe vergleiche man
Aufgabe 16.21.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und es sei ein - invarianter Untervektorraum. Es sei die Einschränkung von auf und
die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung. Zeige
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und es sei ein - invarianter Untervektorraum. Es sei die Einschränkung von auf und
die in Aufgabe 48.6 definierte lineare Abbildung. Zeige, dass für das charakteristische Polynom die Beziehung
gilt.
Es sei der reelle Vektorraum aller Folgen. Zeige, dass die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.
- Die Menge der konstanten Folgen.
- Die Menge der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von verschieden sind.
- Die Menge der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind.
- Die Menge der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben.
- Die Menge der konvergenten Folgen.
- Die Menge der Nullfolgen.
Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen?
Wir betrachten die beiden reellen Folgen
und
und wir verwenden einige Bezeichnungen aus Aufgabe 48.10.
- Zeige, dass die beiden Folgen und in linear unabhängig sind.
- Zeige, dass die beiden Folgen und in linear abhängig sind.
- Wie sieht es in aus?
Es sei der reelle Vektorraum aller konvergenten Folgen und
der Untervektorraum der Nullfolgen. Zeige
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Wir betrachten als - Vektorraum und den Untervektorraum
Zeige, dass im Restklassenraum zwei komplexe Zahlen genau dann gleich werden, wenn ihre Imaginärteile übereinstimmen.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein - Vektorraum und seien Untervektorräume. Es sei
die kanonische Projektion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- Für die
Bildräume
gilt
- Es ist
- Es ist
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein - Vektorraum zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform und es sei der Ausartungsraum. Zeige, dass auf dem Restklassenraum ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform mit
für alle existiert.
Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)
Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum und es sei ein Untervektorraum. Wir definieren auf eine Relation durch
- Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
- Zeige, dass ein affiner Raum über dem Restklassenraum ist.
- Zeige, dass die kanonische Projektion
eine affine Abbildung ist.
<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II | >> |
---|