Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 53/latex

\setcounter{section}{53}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} endlichdimensionale normierte ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{} auf dem \definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mathl{\operatorname{Hom}_{ } { \left( V , W \right) }}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Norm}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es einen Vektor
\mathbed {v \in V} {}
{\Vert {v} \Vert =1} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v) } \Vert }
{ =} { \Vert {\varphi} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}} { }
\aufzaehlungdrei{die \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,} die \definitionsverweis {Summennorm}{}{,} und die \definitionsverweis {euklidische Norm}{}{,} }{die \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{} zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem $\R^2$ in allen Kombinationen, }{die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Spaltensummennorm}{}{} auf dem Matrizenraum
\mathl{\operatorname{Mat}_{ m \times n } ({\mathbb K})}{} gleich der Maximumsnorm im Sinne von Definition 53.1 ist, wenn man die Räume ${\mathbb K}^n$ und ${\mathbb K}^m$ mit der Summennorm versieht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } {,} wobei der $\R^2$ mit der \definitionsverweis {euklidischen Norm}{}{} versehen sei. Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} und die \definitionsverweis {Norm}{}{} von $\varphi$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^n} {\R } { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } { \sum_{i = 1}^n a_i x_i } {,} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} $\neq 0$. Bestimme einen Vektor $v \in \R^n$ auf der \definitionsverweis {abgeschlossenen Kugel}{}{} mit Mittelpunkt $0$ und Radius $1$, an dem die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { B \left( 0,1 \right) } {\R } {v} { \betrag { \varphi(v) } } {,} ihr \definitionsverweis {Maximum}{}{} annimmt. Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} von $\varphi$.

}
{} {}

Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} Die Abbildung heißt \definitionswort {Lipschitz-stetig}{,} wenn es eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(y) \right) } }
{ \leq} { c \cdot d { \left( x, y \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {normierte}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {normierten}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann \definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{} ist, wenn
\mathl{\Vert {\varphi} \Vert < 1}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Endomorphismenraum}{}{} zu einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Welche Eigenschaften einer \definitionsverweis {Norm}{}{} erfüllt der \definitionsverweis {Spektralradius}{}{}
\mathl{\varphi \mapsto \rho(\varphi)}{,} welche nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine Folge in $V$. Zeige, dass die Folge genau dann \definitionsverweis {konvergiert}{}{} \zusatzklammer {bezüglich einer beliebigen \definitionsverweis {Norm}{}{}} {} {,} wenn für eine \zusatzklammer {jede} {} {} \definitionsverweis {Basis}{}{} sämtliche Komponentenfolgen in ${\mathbb K}$ \definitionsverweis {konvergieren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {nilpotenter Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \definitionsverweis {asymptotisch stabil}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} mit \definitionsverweis {endlicher Ordnung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \definitionsverweis {stabil}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {U \oplus W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} mit einer \definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \psi \oplus \theta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {asymptotisch stabil}{}{} ist, wenn sowohl \mathkor {} {\psi} {als auch} {\theta} {} asymptotisch stabil sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {U \oplus W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} mit einer \definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \psi \oplus \theta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {stabil}{}{} ist, wenn sowohl \mathkor {} {\psi} {als auch} {\theta} {} stabil sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {U \oplus W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} mit einer \definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \psi \oplus \theta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge $\varphi^n$ genau dann konvergiert, wenn sowohl \mathkor {} {\psi^n} {als auch} {\theta^n} {} konvergieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\\vdots\\ 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda^n +n \lambda^{n-1} \\\lambda^n\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungfuenf{Die Folge $\varphi^n$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} in
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{.} }{Zu jedem
\mathl{v \in V}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} die Folge
\mathbed {\varphi^n(v)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.} }{Es gibt ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_m \in V}{} derart, dass
\mathbed {\varphi^n (v_j)} {}
{j = 1 , \ldots , m} {}
{} {} {} {,} konvergiert. }{Der Betrag eines jeden \definitionsverweis {komplexen Eigenwerts}{}{} von $\varphi$ ist kleiner oder gleich $1$ und falls der Betrag $1$ ist, so ist der Eigenwert selbst $1$ und \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.} }{Für eine beschreibende Matrix $M$ von $\varphi$, aufgefasst über ${\mathbb C}$, sind die \definitionsverweis {Jordan-Blöcke}{}{} der \definitionsverweis {jordanschen Normalform}{}{} gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}} { }
mit
\mathl{\betrag { \lambda } <1}{} oder gleich $(1)$. }

}
{} {}

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und \maabbdisp {f_n} {T} {M } {} \zusatzklammer {$n \in \N$} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man sagt, dass die Abbildungsfolge \definitionswort {punktweise konvergiert}{,} wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M_k=({(a_{ij} })_k)_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}}{} eine Folge von reellen
\mathl{m\times n}{-}Matrizen und \maabbdisp {\varphi_k} {\R^n} {\R^m } {} die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge
\mathl{({a_{ij} })_k}{} für alle
\mathl{i,j}{} genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {normierte}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabb {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert }
{ \leq} { \Vert {\varphi} \Vert \cdot \Vert {v} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (1+3+1)}
{

Berechne für die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}} { }
\aufzaehlungdrei{die \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,} die \definitionsverweis {Summennorm}{}{,} und die \definitionsverweis {euklidische Norm}{}{,} }{die \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{} zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem $\R^2$ in allen Kombinationen, }{die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} derart, dass eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} von $\varphi$ existiert. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi} \Vert }
{ =} { {\max { \left( \betrag { \lambda } , \lambda \text{ ist Eigenwert von } \varphi \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $M$ eine
\mathl{n \times n}{-}Matrix über ${\mathbb K}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{In der \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathbed {M^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} gibt es eine Wiederholung, d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^n }
{ =} {M^m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für ein Zahlenpaar
\mathl{n <m}{.} }{In der Folge
\mathbed {M^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor. }{Die Folge
\mathbed {M^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} wird letztlich \zusatzklammer {also ab einer bestimmten Stelle} {} {} periodisch. }{Die \definitionsverweis {Jordanblöcke}{}{} zu
\mathl{M}{} über ${\mathbb C}$ haben die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
oder $(\lambda)$ mit einer \definitionsverweis {komplexen Einheitswurzel}{}{} $\lambda$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Die reelle Ebene $\R^2$ sei mit der \definitionsverweis {euklidischen}{}{,} der \definitionsverweis {Summen}{}{-} oder der \definitionsverweis {Maximumsmetrik}{}{} versehen. Bestimme, abhängig von der gewählten Metrik, die maximale Anzahl von Punkten $P_1 , \ldots , P_n \in \R^2$ derart, dass die Metrik auf der Teilmenge $T= \{P_1 , \ldots , P_n \}$ die \definitionsverweis {diskrete Metrik}{}{} induziert.

}
{} {}