Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 52

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln abgeschlossen sind.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

  1. Die leere Menge und die Gesamtmenge sind offen.
  2. Es sei eine beliebige Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung
    offen.
  3. Es sei eine endliche Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt
    offen.


Aufgabe

Es seien und metrische Räume und . Zeige, dass die konstante Abbildung

stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die Identität

stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion stetig ist.


Aufgabe

Sei ein normierter -Vektorraum und

die Verschiebung um den Vektor . Zeige, dass stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einer offenen Ballumgebung von gilt.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und seien reelle Zahlen. Es seien

und

stetige Abbildungen mit . Zeige, dass dann die Abbildung

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Addition

und die Multiplikation

stetig sind.


Aufgabe

Zeige, dass eine polynomiale Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine reelle Quadrik, also eine durch ein reelles Polynom vom Grad zwei gegebene Nullstellenmenge (siehe die 43. Vorlesung), eine abgeschlossene Teilmenge des ist.

Wie sieht das für polynomiale Nullstellengebilde von höherem Grad aus?

Aufgabe

Es seien metrische Räume und seien

Abbildungen. Es sei stetig in und es sei stetig in . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

stetig in ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zeige, dass die Folge in genau dann im Sinne der Metrik konvergiert, wenn sie im Sinne der Topologie konvergiert.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei kompakt. Zeige, dass das Bild ebenfalls kompakt ist.


Zu einer beliebigen Menge kann man durch

eine Metrik definieren, die die diskrete Metrik heißt.

Aufgabe

Es sei mit der euklidischen Metrik und mit der diskreten Metrik. Es sei

die Identität. Zeige, dass stetig ist, die Umkehrabbildung aber nicht.


Aufgabe *

Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.


Aufgabe

Sei oder . Es sei ein -dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei eine in offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von . Zeige, dass der Durchschnitt von mit offen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Untervektorraum im euklidischen Raum . Zeige, dass abgeschlossen im ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm

eine stetige Abbildung ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

stetig und additiv, d.h. es gelte für alle . Zeige, dass dann -linear ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?



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