Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 52

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln $U (x, ϵ)$ offen sind.

Aufgabe

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln $B (x, ϵ)$ abgeschlossen sind.

Aufgabe

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

Die leere Menge $\emptyset$ und die Gesamtmenge $M$ sind offen.
Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien $U_{i}$ , $i \in I$ , offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung
$⋃_{i \in I} U_{i}$
offen.
Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien $U_{i}$ , $i \in I$ , offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt
$⋂_{i \in I} U_{i}$
offen.

Aufgabe

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum und $T \subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion $T \subseteq M$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein normierter $𝕂$ -Vektorraum und

φ_{w} : V ⟶ V, v ⟼ v + w,

die Verschiebung um den Vektor $w \in V$ . Zeige, dass $φ_{w}$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum und sei

f : M ⟶ ℝ

eine stetige Funktion. Es sei $x \in M$ ein Punkt mit $f (x) > 0$ . Zeige, dass dann auch $f (y) > 0$ für alle $y$ aus einer offenen Ballumgebung von $x$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass eine reelle Quadrik, also eine durch ein reelles Polynom vom Grad zwei gegebene Nullstellenmenge (siehe die 43. Vorlesung), eine abgeschlossene Teilmenge des $ℝ^{n}$ ist.

Wie sieht das für polynomiale Nullstellengebilde von höherem Grad aus?

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum und sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Folge in $M$ . Zeige, dass die Folge in $M$ genau dann im Sinne der Metrik konvergiert, wenn sie im Sinne der Topologie konvergiert.

Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und es sei

φ : X ⟶ Y

eine stetige Abbildung. Es sei $X$ kompakt. Zeige, dass das Bild $φ (X) \subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

Zu einer beliebigen Menge $M$ kann man durch

d (x, y) := {\begin{matrix} 0, & falls x = y, \\ 1, & falls x \neq y, \end{matrix}

eine Metrik definieren, die die diskrete Metrik heißt.

Aufgabe

Es sei $X = ℝ^{n}$ mit der euklidischen Metrik und $Y = ℝ^{n}$ mit der diskreten Metrik. Es sei

f : Y ⟶ X

die Identität. Zeige, dass $f$ stetig ist, die Umkehrabbildung $f^{- 1}$ aber nicht.

Aufgabe *

Zeige, dass das offene Einheitsintervall $] 0, 1 [$ und das abgeschlossene Einheitsintervall $[0, 1]$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Es sei $𝕂 = ℝ$ oder $= ℂ$ . Es sei $H \subset 𝕂^{n + 1}$ ein $n$ -dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei $U \subseteq H$ eine in $H ≅ 𝕂^{n}$ offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$ . Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit $𝕂^{n + 1} ∖ \tilde{H}$ offen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $V \subseteq ℝ^{n}$ ein Untervektorraum im euklidischen Raum $ℝ^{n}$ . Zeige, dass $V$ abgeschlossen im $ℝ^{n}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $V$ ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm

V ⟶ ℝ, v ⟼ ‖ v ‖,

eine stetige Abbildung ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

φ : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{m}

stetig und additiv, d.h. es gelte $φ (x + y) = φ (x) + φ (y)$ für alle $x, y \in ℝ^{n}$ . Zeige, dass $φ$ dann $ℝ$ -linear ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Im Nullpunkt $0 \in ℝ^{3}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder einfach ein kleines Loch) und die durch $x = - 1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut $N ≅ ℝ^{2}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

ℝ_{+} \times ℝ \times ℝ ⟶ ℝ^{2},

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?

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