Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 53

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale normierte -Vektorräume. Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum in der Tat eine Norm ist.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor , , mit

gibt.


Aufgabe

Berechne für die Matrix

  1. die Maximumsnorm, die Summennorm, und die euklidische Norm,
  2. die Maximumsnorm zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem in allen Kombinationen,
  3. die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.


Aufgabe

Zeige, dass die Spaltensummennorm auf dem Matrizenraum gleich der Maximumsnorm im Sinne von Definition 53.1 ist, wenn man die Räume und mit der Summennorm versieht.


Aufgabe

Betrachte die lineare Abbildung

wobei der mit der euklidischen Norm versehen sei. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Norm von .


Aufgabe

Es sei

eine lineare Abbildung . Bestimme einen Vektor auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt und Radius , an dem die Funktion

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von .


Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit

für alle gibt.


Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale normierte -Vektorräume und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass Lipschitz-stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung

zwischen endlichdimensionalen normierten -Vektorräumen und genau dann stark kontrahierend ist, wenn ist.


Aufgabe

Sei

der Endomorphismenraum zu einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Welche Eigenschaften einer Norm erfüllt der Spektralradius , welche nicht?


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und , , eine Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert (bezüglich einer beliebigen Norm), wenn für eine (jede) Basis sämtliche Komponentenfolgen in konvergieren.


Aufgabe

Zeige, dass ein nilpotenter Endomorphismus

auf einem -Vektorraum asymptotisch stabil ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein Endomorphismus

mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum stabil ist.


Aufgabe

Es sei

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen -Vektorraumes und es sei

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

Zeige, dass genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl als auch asymptotisch stabil sind.


Aufgabe

Es sei

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen -Vektorraumes und es sei

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

Zeige, dass genau dann stabil ist, wenn sowohl als auch stabil sind.


Aufgabe

Es sei

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen -Vektorraumes und es sei

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sowohl als auch konvergieren.


Aufgabe

Zeige


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Folge konvergiert in .
  2. Zu jedem konvergiert die Folge , .
  3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , konvergiert.
  4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und falls der Betrag ist, so ist der Eigenwert selbst und diagonalisierbar.
  5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

    mit oder gleich .


Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und

() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine Folge von reellen -Matrizen und

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge für alle genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale normierte -Vektorräume und eine lineare Abbildung. Zeige die Abschätzung

für alle .


Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Berechne für die Matrix

  1. die Maximumsnorm, die Summennorm, und die euklidische Norm,
  2. die Maximumsnorm zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem in allen Kombinationen,
  3. die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von existiert. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine -Matrix über . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. In der Folge , , gibt es eine Wiederholung, d.h.

    für ein Zahlenpaar .

  2. In der Folge , , kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor.
  3. Die Folge , , wird letztlich (also ab einer bestimmten Stelle) periodisch.
  4. Die Jordanblöcke zu über haben die Gestalt
    oder mit einer

    komplexen Einheitswurzel .


Aufgabe (6 Punkte)

Die reelle Ebene sei mit der euklidischen, der Summen- oder der Maximumsmetrik versehen. Bestimme, abhängig von der gewählten Metrik, die maximale Anzahl von Punkten derart, dass die Metrik auf der Teilmenge die diskrete Metrik induziert.



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