Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\1\\ -1 \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & -5 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\4 & -3 & 5 \end{pmatrix}} { }
ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Was sind bei einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K} {K } {} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} von $\varphi$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {\varphi, \psi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {Endomorphismen}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von $\varphi$ und von $\psi$. Zeige, dass $v$ auch ein Eigenvektor von $\varphi \circ \psi$ ist. Was ist der Eigenwert?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {,}
die durch eine Matrix der Form
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}}{} gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der erste \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} ein Eigenvektor zu einer jeden \definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{} ist. Was ist der \definitionsverweis {Eigenwert}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $M$ ein Diagonaleintrag von $M$ sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
derart, dass $\varphi$ keine
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
besitzt, dass aber eine gewisse
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mathbed {\varphi^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {,}
Eigenwerte besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ 2 } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mindestens einen
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ 0 } { \left( \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{.}
Zeige, dass sich $\varphi$ zu einer linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi {{|}}_U} {U} {U
} {v} {\varphi(v)
} {,}
einschränken lässt, und dass diese Abbildung die
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
um den Stre\-ckungsfaktor $\lambda$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
$V$ mit der
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
$\varphi^{-1}$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn
\mathl{a^{-1}}{} ein Eigenwert von
\mathl{\varphi^{-1}}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass $P(\lambda)$ ein Eigenwert von $P(\varphi)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi_i} { V_i } { V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi_k$ für ein bestimmtes $k$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert zur
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu einer durch eine Matrix der Form
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} gegebenen
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^2} {K^2
} {}
ist, wenn $\lambda$ eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
des Polynoms
\mathdisp {X^2 -(a+d)X + ad-cb} { }
ist.
}
{} {}
Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$ besteht.
a) Zeige, dass die Ableitung
\mathl{f \mapsto f'}{} eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
von $V$ nach $V$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{\zusatzfussnote {In diesem Zusammenhang spricht man auch von \stichwort {Eigenfunktionen} {}} {.} {.}}
c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
und deren
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $\varphi$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
die
\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{}
zu $\varphi$. Wir betrachten Basen von $V$ der Form
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{} mit der Dualbasis
\mathl{v^*, u_1^* , \ldots , u_r^*}{.} Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.
a) $v^*$ ist Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$ zum Eigenwert $\lambda$ unabhängig von
\mathl{u_1 , \ldots , u_r}{.}
b) $v^*$ ist Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$ zum Eigenwert $\lambda$ bezüglich einer Basis
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{,} aber nicht bezüglich einer Basis
\mathl{v, w_1 , \ldots , w_r}{.}
c) $v^*$ ist bezüglich keiner Basis
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{} ein Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ein fixierter Vektor. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R(v)
}
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } \mid v \text{ ist Eigenvektor zu } \varphi \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein
\definitionsverweis {Ring}{}{}
und ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
dieses Raumes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix}
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedener Vektor. Erstelle ein
\definitionsverweis {inhomogenes lineares Gleichungssystem}{}{,}
dessen
\definitionsverweis {Lösungsmenge}{}{}
genau diejenigen
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
sind, für die $a$ ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$c$ ist. Was ist das Besondere an diesem Gleichungssystem und welche Dimension hat die Lösungsmenge?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {reelle}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl, die ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $M$ ist, wenn man diese als eine komplexe Matrix auffasst. Zeige, dass $a$ schon im Reellen ein Eigenwert von $M$ ist.
}
{} {}
Man verallgemeinere die vorstehende Aufgabe für eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Homothety_in_two_dim.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Homothety in two dim.svg } {} {Lantonov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Streckung}{}{} ist, wenn jeder Vektor $v \in V, \, v \neq 0,$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $\varphi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ als reelle Matrix keine
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
von $M$ als
\definitionsverweis {komplexer}{}{}
Matrix.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {reellen}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man charakterisiere in Abhängigkeit von $a,b,c,d$, wann eine solche Matrix
\aufzaehlungvier{zwei verschiedene
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,}
}{einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{,}
}{einen Eigenwert mit einem eindimensionalen
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{,}
}{keinen Eigenwert,
}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^n
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein gewisses
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{\zusatzfussnote {Der Wert
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} ist hier erlaubt, aber aussagelos} {.} {.}}
Zeige, dass jeder
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$\lambda$ von $\varphi$ die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ und $v$ ein zugehöriger
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{.}
Zeige, dass es zu einer gegebenen
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$v, u_2 , \ldots , u_n$ von $V$ eine Basis $v, w_2 , \ldots , w_n$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \langle v, u_j \rangle
}
{ = }{ \langle v,w_j \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(w_j)
}
{ \in} { \langle u_i ,\, i = 2 , \ldots , n \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 2 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige ebenso, dass dies bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht möglich ist.
}
{} {}
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|---|