Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 21

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Überprüfe, ob der Vektor ein Eigenvektor zur Matrix

ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Was sind bei einer linearen Abbildung

die Eigenwerte und die Eigenvektoren von ?


Aufgabe

Es seien

Endomorphismen auf einem -Vektorraum und es sei ein Eigenvektor von und von . Zeige, dass auch ein Eigenvektor von ist. Was ist der Eigenwert?


Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

die durch eine Matrix der Form gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass der erste Standardvektor ein Eigenvektor zu einer jeden oberen Dreiecksmatrix ist. Was ist der Eigenwert?


Aufgabe *

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz , , Eigenwerte besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix

mindestens einen Eigenwert besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Sei und sei

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich zu einer linearen Abbildung

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ist.


Aufgabe

Es sei ein Isomorphismus auf einem -Vektorraum mit der Umkehrabbildung . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn ein Eigenwert von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein Polynom. Zeige, dass ein Eigenwert von ist.


Aufgabe *

Es seien Vektorräume über dem Körper und

lineare Abbildungen. Es sei ein Eigenwert zu für ein bestimmtes . Zeige, dass auch ein Eigenwert zur Produktabbildung

ist.


Aufgabe

Zeige, dass genau dann ein Eigenwert zu einer durch eine Matrix der Form gegebenen linearen Abbildung

ist, wenn eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von nach besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung eine lineare Abbildung von nach ist.


b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.[1]


c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.


Aufgabe *

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Es sei

die duale Abbildung zu . Wir betrachten Basen von der Form mit der Dualbasis . Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) ist Eigenvektor von zum Eigenwert unabhängig von .

b) ist Eigenvektor von zum Eigenwert bezüglich einer Basis , aber nicht bezüglich einer Basis .

c) ist bezüglich keiner Basis ein Eigenvektor von .


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und , , ein fixierter Vektor. Zeige, dass

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und ein von verschiedener Vektor. Erstelle ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge genau diejenigen -Matrizen sind, für die ein Eigenvektor zum Eigenwert ist. Was ist das Besondere an diesem Gleichungssystem und welche Dimension hat die Lösungsmenge?


Aufgabe

Es sei eine reelle -Matrix. Es sei eine reelle Zahl, die ein Eigenwert von ist, wenn man diese als eine komplexe Matrix auffasst. Zeige, dass schon im Reellen ein Eigenwert von ist.

Man verallgemeinere die vorstehende Aufgabe für eine Körpererweiterung .



Aufgaben zum Abgeben
Homothety in two dim.svg

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ein Eigenvektor von ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

Zeige, dass als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von als komplexer Matrix.


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

Man charakterisiere in Abhängigkeit von , wann eine solche Matrix
  1. zwei verschiedene Eigenwerte,
  2. einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
  3. einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
  4. keinen Eigenwert,

besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung mit

für ein gewisses .[2] Zeige, dass jeder Eigenwert von die Eigenschaft besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis von eine Basis gibt mit und mit

für alle .

Zeige ebenso, dass dies bei nicht möglich ist.




Fußnoten
  1. In diesem Zusammenhang spricht man auch von Eigenfunktionen.
  2. Der Wert ist hier erlaubt, aber aussagelos.


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