Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 20
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
- Übungsaufgaben
Aufgabe *
Aufgabe
Aufgabe
Finde für die folgenden drei Mengen
(die alle die Form besitzen)
jeweils ein Polynom(mit Koeffizienten ) mit
Aufgabe
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Zeige, dass man jede Funktion in eindeutiger Weise als ein Polynom vom Grad schreiben kann.
Aufgabe *
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.
- Zeige, dass die Polynomfunktionen
mit linear unabhängig sind.
- Zeige, dass die Exponentialfunktionen
mit linear unabhängig sind.
Aufgabe *
Aufgabe
Es sei
ein Endomorphismen auf einem - Vektorraum und ein Polynom. Zeige, dass die Gleichheit
im Allgemeinen nicht gilt.
Aufgabe *
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die Menge
ein Hauptideal im Polynomring ist, das vom Minimalpolynom erzeugt wird.
Aufgabe
Es sei eine Matrix mit dem Minimalpolynom . Zeige, dass die Streckung mit dem Streckungsfaktor ist.
Aufgabe
Wir besprechen die Minimalpolynome zu den Elementarmatrizen.
a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix gleich ist.
b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix mit gleich
ist.
c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix von der Form
ist. Was ist dabei ?
Aufgabe *
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und
eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu drei Möglichkeiten gibt, nämlich und .
Aufgabe *
Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine - Matrix über gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom mit dem Minimalpolynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.
Aufgabe *
Es sei eine - Matrix über mit dem Minimalpolynom . Es sei
eine Faktorzerlegung in Polynome von positivem Grad. Zeige, dass nicht bijektiv ist.
Aufgabe
Wir betrachten die lineare Abbildung
die durch festgelegt ist. Zeige, dass nur vom Nullpolynom annulliert wird.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
ein Endomorphismus auf einem - Vektorraum und
ein Isomorphismus. Zeige, dass für jedes Polynom die Gleichheit
gilt.
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