Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}, \, v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} {} {} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 7 \\-4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$.
a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^2$ ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(-2,5)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?
c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ v } }}{} zum identischen Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ v }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 3+5 { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} {und} {v_2 = \begin{pmatrix} 2+3 { \mathrm i} \\4+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} {} {} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im ${\mathbb C}^2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 7 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\6\\ 9 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ der Vektorraum der
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$\leq d$. Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zwischen den Basen
\mathl{\mathfrak{ u } =X^0,X^1,X^2 , \ldots , X^d}{} und
\mathl{\mathfrak{ v } =P_0 , P_1, P_2 , \ldots , P_d}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_i
}
{ =} { (X-1) \cdots (X-i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{0,1,2 , \ldots , 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ der Vektorraum der
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$\leq 3$ mit der Basis
\mathl{\mathfrak{ u } =X^0,X^1,X^2,X^3}{.} Zeige, dass die Polynome
\mathdisp {X^3+3X^2-X+4,\, -X^3 +4 X^2+5X+3,\, 2X^2 - X+1,\, 3X^3 +5X^2+7X -2} { }
ebenfalls eine Basis von $V$ bilden und bestimme die beiden
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ der Vektorraum der
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
mit der Standardbasis
\mathdisp {\mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}} { }
ebenfalls eine Basis von $V$ ist und bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ u } =u_1 , \ldots , u_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} {und} {\mathfrak{ z } = z_1 , \ldots , z_m} {}
Basen von $W$. Es seien
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.}
Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis
\mathl{(v_1 ,0) , \ldots , (v_n,0),(0, w_1) , \ldots , (0, w_m)}{} zur Basis
\mathl{(u_1 ,0) , \ldots , (u_n,0),(0, z_1) , \ldots , (0, z_m)}{} vom
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V \times W}{} beschrieben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Zeige, dass der von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\2\\ -4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\8\\ -3 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq K^3}{} die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$2$ besitzt.
b) Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
und die Dimension des
\definitionsverweis {Lösungsraumes}{}{}
\mathl{L \subseteq K^3}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-6x_1+4x_2+5x_3
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts
\mathl{U \cap L}{.}
d) Bestätige Satz 9.7 in diesem Beispiel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Raum der
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem Körper $K$ die direkte Summe aus den Spaltenräumen
\mathbed {S_j} {}
{j=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
ist, wobei der $j$-te Spaltenraum aus denjenigen
\mathl{m \times n}{-}Matrizen besteht, die in der $j$-ten Spalte beliebige Einträge und sonst überall den Eintrag $0$ besitzen. Man gebe die direkte Summenzerlegung für die
\mathl{3 \times 4}{-}Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 8 & 10 & -2 \\ 2 & 6 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { }
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Raum der $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über einem Körper $K$ die direkte Summe aus dem Raum der \definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{,} dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale und dem Raum der unteren Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume
\mathl{U_1,U_2,U_3}{} in einem Vektorraum $V$ derart, dass
\mathl{V=U_1+U_2+U_3}{} ist, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_j
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.
}
{} {}
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt \definitionswort {gerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
Eine Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt \definitionswort {ungerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { -f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ \operatorname{Abb} (\R,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
aller
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {G \oplus U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei $G$ den
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{}
und $U$ den Untervektorraum der
\definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ sei die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.}
Zeige, dass ein Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} nicht die direkte Summe der Untervektorräume
\mathkor {} {U \cap V_1} {und} {U \cap V_2} {}
sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme ein
\definitionsverweis {direktes Komplement}{}{}
zu dem von
\mathkor {} {\begin{pmatrix} -5 \\4\\ 9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 2 \\-7\\ 3 \end{pmatrix}} {}
erzeugten Untervektorraum
\mathl{U \subseteq \R^3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{U_1, U_2 \subseteq V}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
gleicher Dimension. Zeige, dass
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
ein gemeinsames
\definitionsverweis {direktes Komplement}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\5\\ 1 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ -8 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\7\\ -3 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+1+2)}
{
Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 4 \\7\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 5 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 6 \\6\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 3 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.
a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^3$ ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(2,5,4)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?
c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n}{.} Es sei
\mathl{w \in V}{} ein Vektor mit einer Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{s_k \neq 0}{} sei für ein bestimmtes $k$. Es sei
\mathdisp {\mathfrak{ w } = v_1 , \ldots , v_{k-1} , w, v_{k+1} , \ldots , v_n} { . }
Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (2+2+3+1)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Zeige, dass der von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 \\3\\ -1\\4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\6\\ 5\\-3 \end{pmatrix} , \,\begin{pmatrix} 4 \\-2\\ -1\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq K^4}{} die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$3$ besitzt.
b) Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
und die Dimension des
\definitionsverweis {Lösungsraumes}{}{}
\mathl{L \subseteq K^4}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x_1+5x_2+3x_3 -6x_4
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts
\mathl{U \cap L}{.}
d) Bestätige Satz 9.7 in diesem Beispiel.
}
{} {}
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