Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}, \, v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} {} {} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 7 \\-4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$.

a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^2$ ist.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(-2,5)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?

c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ v } }}{} zum identischen Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ v }$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 3+5 { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} {und} {v_2 = \begin{pmatrix} 2+3 { \mathrm i} \\4+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} {} {} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im ${\mathbb C}^2$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 7 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\6\\ 9 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ der Vektorraum der \definitionsverweis {Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq d$. Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} zwischen den Basen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u } }
{ = }{ X^0,X^1,X^2 , \ldots , X^d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v } }
{ = }{ P_0 , P_1, P_2 , \ldots , P_d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_i }
{ =} { (X-1) \cdots (X-i) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ = }{ 0,1,2 ,3,4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ der Vektorraum der \definitionsverweis {Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 3$ mit der Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u } }
{ = }{ X^0,X^1,X^2,X^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Polynome
\mathdisp {X^3+3X^2-X+4,\, -X^3 +4 X^2+5X+3,\, 2X^2 - X+1,\, 3X^3 +5X^2+7X -2} { }
ebenfalls eine Basis von $V$ bilden und bestimme die beiden \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ der Vektorraum der $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} mit der Standardbasis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u } }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v } }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls eine Basis von $V$ ist und bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Es seien \mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {} \definitionsverweis {Basen}{}{} von $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } }
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} stehen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Es seien \mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ u } =u_1 , \ldots , u_n} {} \definitionsverweis {Basen}{}{} von $V$ und \mathkor {} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} {und} {\mathfrak{ z } = z_1 , \ldots , z_m} {} Basen von $W$. Es seien \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {} die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.} Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis
\mathl{(v_1 ,0) , \ldots , (v_n,0),(0, w_1) , \ldots , (0, w_m)}{} zur Basis
\mathl{(u_1 ,0) , \ldots , (u_n,0),(0, z_1) , \ldots , (0, z_m)}{} vom \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V \times W}{} beschrieben?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Zeige, dass der von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\2\\ -4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\8\\ -3 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugte}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ K^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Dimension}{}{} $2$ besitzt.

b) Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} und die Dimension des \definitionsverweis {Lösungsraumes}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ \subseteq }{ K^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -6x_1+4x_2+5x_3 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts
\mathl{U \cap L}{.}

d) Bestätige Satz 9.7 in diesem Beispiel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Raum der $m \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über einem Körper $K$ die direkte Summe aus den Spaltenräumen
\mathbed {S_j} {}
{j=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} ist, wobei der $j$-te Spaltenraum aus denjenigen
\mathl{m \times n}{-}Matrizen besteht, die in der $j$-ten Spalte beliebige Einträge und sonst überall den Eintrag $0$ besitzen. Man gebe die direkte Summenzerlegung für die
\mathl{3 \times 4}{-}Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 8 & 10 & -2 \\ 2 & 6 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { }
an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Raum der $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über einem Körper $K$ die direkte Summe aus dem Raum der \definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{,} dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale und dem Raum der unteren Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume
\mathl{U_1,U_2,U_3}{} in einem Vektorraum $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ U_1+U_2+U_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_j }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \neq }{j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.

}
{} {}

Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {gerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { f(-x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

Eine Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {ungerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { -f(-x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} aller \definitionsverweis {Funktionen}{}{} von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} { G \oplus U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, wobei $G$ den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} der \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{} und $U$ den Untervektorraum der \definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ sei die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} der \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.} Zeige, dass ein Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht die direkte Summe der Untervektorräume \mathkor {} {U \cap V_1} {und} {U \cap V_2} {} sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme ein \definitionsverweis {direktes Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} -5 \\4\\ 9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 2 \\-7\\ 3 \end{pmatrix}} {} erzeugten Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1, U_2 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} gleicher Dimension. Zeige, dass \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} ein gemeinsames \definitionsverweis {direktes Komplement}{}{} besitzen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\5\\ 1 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ -8 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\7\\ -3 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (3+1+2)}
{

Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 4 \\7\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 5 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 6 \\6\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 3 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.

a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^3$ ist.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(2,5,4)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?

c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v } }
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Vektor mit einer Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w }
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_k }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei für ein bestimmtes $k$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w } }
{ =} { v_1 , \ldots , v_{k-1} , w, v_{k+1} , \ldots , v_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{8 (2+2+3+1)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Zeige, dass der von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 \\3\\ -1\\4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\6\\ 5\\-3 \end{pmatrix} , \,\begin{pmatrix} 4 \\-2\\ -1\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugte}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ K^4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Dimension}{}{} $3$ besitzt.

b) Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} und die Dimension des \definitionsverweis {Lösungsraumes}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ \subseteq }{ K^4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x_1+5x_2+3x_3 -6x_4 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts
\mathl{U \cap L}{.}

d) Bestätige Satz 9.7 in diesem Beispiel.

}
{} {}