Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 8

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Dimension des Raumes der -Matrizen.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

in den Variablen .


Aufgabe

Bestimme die Dimension des Raumes aller -Matrizen.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.


Eine -Matrix

heißt symmetrisch, wenn für alle ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der symmetrischen -Matrizen einen Untervektorraum im Raum aller -Matrizen bildet und bestimme dessen Dimension.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. bilden eine Basis von .
  2. bilden ein Erzeugendensystem von .
  3. sind linear unabhängig.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension. Es sei ein Untervektorraum mit . Zeige, dass dann ist.


Aufgabe *

Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

Man gebe Beispiele für derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Aufgabe *

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei . Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad ein endlichdimensionaler Untervektorraum von ist. Was ist seine Dimension?


Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad , für die und Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei eine Basis von . Zeige, dass die Vektorenfamilie

eine Basis von , aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.


Aufgabe

Es sei die Standardbasis im gegeben und die drei Vektoren

Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 8.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?


Aufgabe

Wir betrachten die linearen Gleichungen

über .

  1. Bestimme eine Basis des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
  2. Ergänze die Basis zu einer Basis des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
  3. Ergänze die Basis zu einer Basis des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
  4. Ergänze die Basis zu einer Basis des Gesamtraumes .


Aufgabe *

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von Tupeln der Länge , also die Zeilenvektoren in der Matrix

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass nicht zugleich eine endliche Basis und eine unendliche Basis besitzen kann.


Das magische Quadrat aus Dürers Stich Melencolia I.


Eine -Matrix über einem Körper heißt magisches Quadrat (oder linear-magisches Quadrat über ), wenn jede Spaltensumme und jede Zeilensumme in der Matrix gleich einer bestimmen Zahl ist.


In diesem Sinne ist

für jedes ein magisches Quadrat.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller linear-magischen Quadrate der Länge über einen Untervektorraum im Raum aller -Matrizen bildet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in und sei

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von gleich ist.


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

a) Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

in den Variablen .

b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen auffasst?


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad , für die , und Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und . Bestimme die Dimension des Raumes aller linear-magischen Quadrate der Länge über .


Aufgabe (7 (3+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die linearen Gleichungen

über .

  1. Bestimme eine Basis des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
  2. Ergänze die Basis zu einer Basis des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
  3. Ergänze die Basis zu einer Basis des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
  4. Ergänze die Basis zu einer Basis des Gesamtraumes .



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