Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Definitionsabfrage

Definition:Leere Menge

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

\emptyset

bezeichnet.

Definition:Teilmenge

Es seien ${}T$ und ${}M$ Mengen. Man sagt, dass ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.

Definition:Durchschnitt

Zu Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

{}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Definition:Vereinigung

Zu zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

{}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,

die Vereinigung der beiden Mengen.

Definition:Differenzmenge

Zu Mengen ${}A,B$ nennt man

{}A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,

die Differenzmenge „ ${}A$ ohne ${}B$ “.

Definition:Komplement

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einer Menge ${}M$ heißt

{}M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,

das Komplement von ${}T$ (in ${}M$ ).

Definition:Disjunkte Mengen

Zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ${}L\cap M=\emptyset$ ist.

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

{}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$ . Sie wird mit

{\mathfrak {P}}\,(M)

bezeichnet.

Definition:Mengenfamilie

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen

M_{i}{\text{ , }}i\in I.

Die Menge ${}I$ heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.

Definition:Durchschnitt zu einer Mengenfamilie

Es sei ${}M_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge ${}G$ . Dann heißt

{}\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,

der Durchschnitt der Mengen.

Definition:Vereinigung zu einer Mengenfamilie

Es sei ${}M_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge ${}G$ . Dann heißt

{}\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,

die Vereinigung der Mengen.

Definition:Produktmenge (Familie)

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

{}M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}\,

die Produktmenge der ${}M_{i}$ .

Definition:Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

aus.

Definition:Injektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Definition:Surjektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

{}F(x)=y\,

gibt.

Definition:Bijektiv

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Umkehrabbildung

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

G\colon M\longrightarrow L,

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$ .

Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

und

G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$ .

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Dann nennt man

{}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,

den Graphen der Abbildung ${}F$ .

Definition:Bild unter einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge ${}S\subseteq L$ heißt

{}F(S)={\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in S{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}\,

das Bild von ${}S$ unter ${}F$ . Für ${}S=L$ heißt

{}F(L)=\operatorname {bild} F\,

das Bild der Abbildung.

Definition:Urbild unter einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

{}F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}\,

das Urbild von ${}T$ unter ${}F$ . Für eine einelementige Teilmenge ${}T=\{y\}$ heißt

F^{-1}(\{y\})

das Urbild von ${}y$ .

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.

Definition:Kommutative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,

auf einer Menge ${}M$ heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

{}x\circ y=y\circ x\,

gilt.

Definition:Assoziative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,

auf einer Menge ${}M$ heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

{}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,

gilt.

Definition:Neutrales Element

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,

gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit ${}x\circ e=x=e\circ x$ gilt.

Definition:Inverses Element

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,

und einem neutralen Element ${}e\in M$ gegeben. Dann heißt zu einem Element ${}x\in M$ ein Element ${}y\in M$ inverses Element (zu ${}x$ ). wenn die Gleichheit

{}x\circ y=e=y\circ x\,

gilt.

Definition:Gruppe

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt
${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$
Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt
${}g\circ e=g=e\circ g\,.$
Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit
${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Definition:Ring

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

Axiome der Addition
1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a+b)+c=a+(b+c)$ .
2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$ .
3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$ .
4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$ .
Axiome der Multiplikation
1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$ .
Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ .

Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition:Körper (ausführlich)

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

Axiome der Addition
1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$ .
2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$ .
3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$ .
4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$ .
Axiome der Multiplikation
1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$ .
3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$ .
4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$ .
Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ .

Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$ . Dann nennt man

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle ${}i=1,\ldots ,m$ ist.

Wenn ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Definition:Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ und ${}J$ Indexmengen. Eine ${}I\times J$ -Matrix ist eine Abbildung

I\times J\longrightarrow K,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.

Bei ${}I=\{1,\ldots ,m\}$ und ${}J=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einer ${}m\times n$ -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.

Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$ - Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$ -Matrix über ${}K$ . Dann ist das Matrixprodukt

AB

diejenige ${}m\times p$ -Matrix, deren Einträge durch

{}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,

gegeben sind.

Definition:Einheitsmatrix

Die ${}n\times n$ - Matrix

{}E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,

nennt man die Einheitsmatrix.

Definition:Diagonalmatrix

Eine ${}n\times n$ - Matrix der Form

{\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}

nennt man Diagonalmatrix.

Definition:Transponierte Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann nennt man die ${}n\times m$ -Matrix

{M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}

die transponierte Matrix zu ${}M$ .

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei ${}K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Definition:Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,

und

\cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.

Dann nennt man ${}V$ einen ${}K$ -Vektorraum (oder einen Vektorraum über ${}K$ ), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig)

${}u+v=v+u$ ,
${}(u+v)+w=u+(v+w)$ ,
${}v+0=v$ ,
Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$ ,
${}1\cdot u=u$ ,
${}r(su)=(rs)u$ ,
${}r(u+v)=ru+rv$ ,
${}(r+s)u=ru+su$ .

Definition:Standardvektor

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann nennt man zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ den Vektor

{}e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\in K^{n}\,,

wobei ${}1$ an der ${}i$ -ten Stelle steht, den ${}i$ -ten Standardvektor.

Definition:Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

${}0\in U$ .
Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$ .
Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$ .

Definition:Linearkombination

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$ . Dann heißt der Vektor

s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$ ).

Definition:Erzeugendensystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt eine Familie ${}v_{i}\in V$ , ${}i\in I$ , ein Erzeugendensystem von ${}V$ , wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als

{}v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,

mit einer endlichen Teilfamilie ${}J\subseteq I$ und mit ${}s_{j}\in K$ darstellen kann.

Definition:Aufgespannter Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Zu einer Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , setzt man

\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Definition:Linear unabhängig (endliche Familie)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ${}I$ ) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K

nur bei ${}s_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Definition:Linear unabhängig

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , linear unabhängig, wenn eine Gleichung

\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I

nur bei ${}s_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Definition:Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ${}v_{i}\in V$ , ${}i\in I$ , von ${}V$ eine Basis von ${}V$ .

Definition:Dimension

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${}V$ die Dimension von ${}V$ , geschrieben

\dim _{K}{\left(V\right)}.

Definition:Übergangsmatrix

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n$ . Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ . Es sei

{}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$ . Dann nennt man die ${}n\times n$ - Matrix

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,

die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$ .

Definition:Summe der Untervektorräume

Zu einem ${}K$ - Vektorraum und einer Familie ${}U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ von Untervektorräumen definiert man die Summe dieser Untervektorräume durch

{}U_{1}+\cdots +U_{n}={\left\{u_{1}+\cdots +u_{n}\mid u_{i}\in U_{i}\right\}}\,.

Definition:Direkte Summe (Untervektorräume)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$ eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$ . Man sagt, dass ${}V$ die direkte Summe der ${}U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

Jeder Vektor ${}v\in V$ besitzt eine Darstellung
${}v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$

mit ${}u_{i}\in U_{i}$ .
${}U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle ${}i$ .

Definition:Produktmenge (Familie)

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

{}M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}\,

die Produktmenge der ${}M_{i}$ .

Definition:Direkte Summe

Es sei ${}I$ eine Menge und ${}K$ ein Körper. Zu jedem ${}i\in I$ sei ein ${}K$ - Vektorraum ${}V_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

{}\bigoplus _{i\in I}V_{i}={\left\{(v_{i})_{i\in I}\mid v_{i}\in V_{i},\,v_{i}\neq 0{\text{ für nur endlich viele }}i\right\}}\,

die direkte Summe der ${}V_{i}$ .

Definition:Lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Eine Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$ .
${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$ .

Definition:Matrix zu linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Zu einer linearen Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt die ${}m\times n$ - Matrix

{}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$ -te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen.

Definition:Durch Matrix festgelegte lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}

gemäß Satz 10.10 definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Definition:Isomorphismus (Vektorräume)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Eine bijektive, lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt Isomorphismus.

Definition:Isomorphe Vektorräume

Es sei ${}K$ ein Körper. Zwei ${}K$ - Vektorräume ${}V$ und ${}W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von ${}V$ nach ${}W$ gibt.

Definition:Kern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung. Dann nennt man

{}\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,

den Kern von ${}\varphi$ .

Definition:Rang einer linearen Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man

{}\operatorname {rang} \,\varphi :=\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,

den Rang von ${}\varphi$ .

Definition:Ähnliche Matrix

Zwei quadratische Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit ${}M=BNB^{-1}$ gibt.

Definition:Invertierbare Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

{}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,

gibt.

Definition:Inverse Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

{}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,

die inverse Matrix von ${}M$ . Man schreibt dafür

M^{-1}.

Definition:Elementare Zeilenumformungen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an ${}M$ elementare Zeilenumformungen.

Vertauschung von zwei Zeilen.
Multiplikation einer Zeile mit ${}s\neq 0$ .
Addition des ${}a$ -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Definition:Elementarmatrizen

Es sei ${}K$ ein Körper. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$ - Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$ .
${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$ .
${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$ .

Definition:Spaltenrang

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben

\operatorname {rang} \,M.

Definition:Lineare Projektion

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

heißt Projektion von ${}V$ auf ${}U$ , wenn ${}U=\operatorname {bild} \varphi$ und ${}\varphi {|}_{U}=\operatorname {Id} _{U}$ ist.

Definition:Lineare Projektion (idempotent)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

heißt Projektion, wenn

{}\varphi ^{2}=\varphi \,

gilt.

Definition:Homomorphismenraum

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Dann nennt man

{}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

{}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

{}(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,

definiert wird.

Definition:Linearform

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine lineare Abbildung

V\longrightarrow K

heißt eine Linearform auf ${}V$ .

Definition:Dualraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

{}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,

der Dualraum zu ${}V$ .

Definition:Dualbasis

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ . Dann nennt man die Linearformen

{}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,,

die durch

{}v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,

festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.

Definition:Spur

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann heißt

{}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,

die Spur von ${}M$ .

Definition:Spur (Endomorphismus)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von ${}\varphi$ , geschrieben ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)}$ .

Definition:Orthogonalraum

Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$ - Vektorraum nennt man

{}U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,

den Orthogonalraum zu ${}U$ .

Definition:Orthogonalraum (zu Untervektorraum im Dualraum)

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}F\subseteq {V}^{*}$ ein Untervektorraum im Dualraum ${}{V}^{*}$ zu ${}V$ . Dann nennt man

{}F^{\perp }={\left\{v\in V\mid f(v)=0{\text{ für alle }}f\in F\right\}}\subseteq V\,

den Orthogonalraum zu ${}F$ .

Definition:Duale Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung

\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,

die duale Abbildung zu ${}\varphi$ .

Definition:Bidual

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums ${}{V}^{*}$ , also

{({V}^{*})}^{*}

das Bidual von ${}V$ .

Definition:Determinante (rekursive Definition)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$ -Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$ -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

{}\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,

Definition:Multilineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Eine Abbildung

\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W

heißt multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$ -Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit ${}v_{j}\in V_{j}$ die induzierte Abbildung

V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),

${}K$ - linear ist.

Definition:Alternierende Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Eine multilineare Abbildung

\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W

heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$ , so ist

{}\Phi (v)=0\,.

Definition:Determinantenfunktion

Es sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ . Eine Abbildung

\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K

heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

${}\triangle$ ist multilinear.
${}\triangle$ ist alternierend.

Definition:Determinante eines Endomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man

{}\det \varphi :=\det M\,

die Determinante der linearen Abbildung ${}\varphi$ .

Definition:Adjungierte Matrix (Adjunkte)

Zu einer quadratischen Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt

M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},

wobei ${}M_{ji}$ die Streichungsmatrix zur ${}j$ -ten Zeile und zur ${}i$ -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix (Adjunkte) von ${}M$ .

Definition:Fakultät

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

{}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

Definition:Permutationsgruppe

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge

{}\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,

der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu ${}M$ .

Definition:Zykel

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ . Man nennt ${}\pi$ einen Zykel der Ordnung ${}r$ , wenn es eine ${}r$ -elementige Teilmenge ${}Z\subseteq M$ derart gibt, dass ${}\pi$ auf ${}M\setminus Z$ die Identität ist und ${}\pi$ die Elemente aus ${}Z$ zyklisch vertauscht. Wenn ${}Z=\{z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\}$ ist, so schreibt man einfach

{}\pi =\langle z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\rangle \,.

Definition:Transposition

Eine Transposition auf einer endlichen Menge ${}M$ ist eine Permutation auf ${}M$ , die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.

Definition:Signum

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ . Dann heißt die Zahl

{}\operatorname {sgn} (\pi )=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\,

das Signum (oder das Vorzeichen) der Permutation ${}\pi$ .

Definition:Fehlstand

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ . Dann heißt ein Indexpaar

{}i<j\,

ein Fehlstand von ${}\pi$ , wenn ${}\pi (i)>\pi (j)$ ist.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

\psi \colon G\longrightarrow H

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

{}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

{}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,

mit ${}a_{i}\in K$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

{}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

{}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$ .

Definition:Rationale Funktion

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu Polynomen ${}P,Q\in K[X]$ , ${}Q\neq 0$ , heißt die Funktion

D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},

wobei ${}D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

${}0\in {\mathfrak {a}}$ .
Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$ .
Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$ .

Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen

r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},

wobei ${}r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R$ sind.

Definition:Hauptideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

{}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,

heißt Hauptideal.

Definition:Einheitsideal

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ${}R$ ist der Ring selbst.

Definition:Minimalpolynom

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und

f\colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom ${}\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit

{}\mu _{f}(f)=0\,

das Minimalpolynom von ${}f$ .

Definition:Eigenvektor

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ , ein Eigenvektor von ${}\varphi$ (zum Eigenwert ${}\lambda$ ), wenn

{}\varphi (v)=\lambda v\,

mit einem ${}\lambda \in K$ gilt.

Definition:Eigenwert

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$ , wenn es einen von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in V$ mit

{}\varphi (v)=\lambda v\,

gibt.

Definition:Eigenraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zu ${}\lambda \in K$ nennt man

{}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,

den Eigenraum von ${}\varphi$ zum Wert ${}\lambda$ .

Definition:Streckung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Zu ${}a\in K$ heißt die lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor ${}a$ .

Definition:Fixraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Unter dem Fixraum zu ${}\varphi$ versteht man den Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ , also die Menge ${}{\left\{v\in V\mid \varphi (v)=v\right\}}$ .

Definition:Diagonalisierbare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ diagonalisierbar, wenn ${}V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ besitzt.

Definition:Geometrische Vielfachheit

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zu ${}\lambda \in K$ nennt man

\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}

die geometrische Vielfachheit von ${}\lambda$ .

Definition:Invarianter Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ${}\varphi$ -invariant, wenn

{}\varphi (U)\subseteq U\,

gilt.

Definition:Charakteristisches Polynom

Zu einer ${}n\times n$ - Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$ heißt das Polynom

{}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,

das charakteristische Polynom von ${}M$ .

Definition:Algebraische Vielfachheit

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und ${}\lambda \in K$ . Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$ . Sie wird mit

{}\mu _{\lambda }=\mu _{\lambda }(\varphi )\,

bezeichnet.

Definition:Trigonalisierbare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Definition:Fahne

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen

{}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,

eine Fahne in ${}V$ .

Definition:Invariante Fahne

Es sei ${}V$ ein Vektorraum der Dimension ${}n$ und

f\colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Eine Fahne

{}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}\,

heißt ${}f$ -invariant, wenn ${}f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle ${}i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.

Definition:Teilt (Polynomring)

Es sei ${}K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom ${}T\in K[X]$ ein Polynom ${}P\in K[X]$ teilt, wenn es ein Polynom ${}Q\in K[X]$ mit

{}P=TQ\,

gibt.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ Polynome über einem Körper ${}K$ . Man sagt, dass ein Polynom ${}T\in K[X]$ ein gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn ${}T$ jedes ${}P_{i}$ teilt.

Definition:Größter gemeinsamer Teiler

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ Polynome über einem Körper ${}K$ . Man sagt, dass ein Polynom ${}G\in K[X]$ ein größter gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn ${}G$ ein gemeinsamer Teiler der ${}P_{i}$ ist und wenn ${}G$ unter allen gemeinsamen Teilern der ${}P_{i}$ maximalen Grad besitzt.

Definition:Teilerfremde Polynome

Polynome ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper ${}K$ heißen teilerfremd, wenn sie außer den Konstanten ${}c\neq 0$ keine gemeinsamen Teiler besitzen.

Definition:Hauptraum

Zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ auf einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und einem Eigenwert ${}\lambda \in K$ nennt man

{}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}\,

den Hauptraum zu ${}\varphi$ zu diesem Eigenwert.

Definition:Nilpotenter Endomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ derart gibt, dass die ${}n$ -te Hintereinanderschaltung

{}\varphi ^{n}=0\,

ist.

Definition:Nilpotent

Eine quadratische Matrix ${}M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das ${}n$ -te Matrixprodukt

{}M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0\,

ist.

Definition:Jordanmatrix

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\lambda \in K$ . Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert ${}\lambda$ ) versteht man eine quadratische Matrix der Form

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.

Definition:Jordansche Normalform

Eine quadratische Matrix der Form

{\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},

wobei die ${}J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.

Definition:Affiner Unterraum (Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum. Unter einem affinen Unterraum von ${}V$ versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form

{}P+U={\left\{P+u\mid u\in U\right\}}\,,

wobei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}P\in V$ ein Vektor ist.

Definition:Affiner Raum

Ein affiner Raum über einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ ist eine Menge ${}E$ zusammen mit einer Abbildung

V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,

die den drei Bedingungen

${}P+0=P$ für alle ${}P\in E$ ,
${}(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle ${}v,w\in V$ und ${}P\in E$ ,
Zu je zwei Punkten ${}P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor ${}v\in V$ mit ${}Q=P+v$ ,

genügt.

Definition:Affine Basis

Eine Familie von Punkten ${}P_{i}\in E$ , ${}i\in I$ , in einem affinen Raum ${}E$ über einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ heißt eine affine Basis von ${}E$ , wenn zu einem ${}i_{0}\in I$ die Vektorfamilie

{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\in I\setminus \{i_{0}\},

eine Basis von ${}V$ ist.

Definition:Baryzentrische Kombination

Zu einer Familie ${}P_{i}$ , ${}i\in I$ , von Punkten in einem affinen Raum ${}E$ und einem Zahltupel ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , mit

{}\sum _{i\in I}a_{i}=1\,

(bei unendlichem ${}I$ ist dies so zu verstehen, dass nur endlich viele der ${}a_{i}$ von ${}0$ verschieden sein können) heißt die Summe ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ baryzentrische Kombination der ${}P_{i}$ . Der zugehörige Punkt in ${}E$ ist durch

{}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}=Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\,

gegeben, wobei ${}Q$ ein beliebiger Punkt aus ${}E$ ist.

Definition:Baryzentrische Koordinaten

Es sei ${}P_{i}$ , ${}i\in I$ , eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ . Dann nennt man die zu einem Punkt ${}P\in E$ eindeutig bestimmten Zahlen

(a_{i},i\in I){\text{ mit }}\sum _{i\in I}a_{i}=1

mit

{}P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,

die baryzentrischen Koordinaten von ${}P$ .

Definition:Dimension (affiner Raum)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum mit einer affinen Basis

P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n},P_{n+1}.

Dann nennt man ${}n$ die Dimension von ${}E$ .

Definition:Affiner Unterraum

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ . Eine Teilmenge ${}F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum, wenn ( ${}F$ leer ist)

{}F=P+U\,

ist, mit einem Punkt ${}P\in E$ und einem ${}K$ - Untervektorraum ${}U\subseteq V$ .

Definition:Affines Erzeugendensystem

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und sei ${}F\subseteq E$ ein affiner Unterraum. Eine Familie von Punkten ${}P_{i}\in F$ , ${}i\in I$ , heißt affines Erzeugendensystem von ${}F$ , wenn ${}F$ der kleinste affine Unterraum von ${}E$ ist, der alle Punkte ${}P_{i}$ umfasst.