Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex
\setcounter{section}{31}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} auf dem $\R^n$ in der Tat ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
dieses Skalarproduktes ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf dem $\R^2$ mit den Werten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle e_1 , e_1 \right\rangle
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle e_1 , e_2 \right\rangle
}
{ = }{-4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle e_2 , e_1 \right\rangle
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle e_2 , e_2 \right\rangle
}
{ = }{ -3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathl{\left\langle \begin{pmatrix} 3 \\-4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -5 \\-6 \end{pmatrix} \right\rangle}{.} Handelt es sich um ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[0,1]} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{-x^2+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{x^2+x+3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne
$\left\langle f , g \right\rangle$
im Sinne von
Beispiel 31.6.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein abgeschlossenes reelles Intervall mit
\mathl{a<b}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ { \left\{ f :[a,b] \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mathl{f,g \in V}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle_n
}
{ \defeq} { \sum_{i = 0 }^n f { \left( a+ i { \frac{ b-a }{ n } } \right) } g { \left( a+i { \frac{ b-a }{ n } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Eigenschaften eines
\definitionsverweis {Skalarproduktes}{}{}
erfüllt
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_n}{,} welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_n}{} und dem Skalarprodukt aus
Beispiel 31.6?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(V_1, \left\langle - , - \right\rangle_1)} {und} {(V_2, \left\langle - , - \right\rangle_2)} {}
reelle Vektorräume mit
\definitionsverweis {Skalarprodukten}{}{.}
Zeige, dass auf dem
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V_1 \times V_2}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle (v_1,v_2) , (w_1,w_2) \right\rangle
}
{ \defeq} { \left\langle v_1 , w_1 \right\rangle_1 + \left\langle v_2 , w_2 \right\rangle_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Skalarprodukt definiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2
}
{ =} { 2 \Vert {v} \Vert ^2 +2 \Vert {w} \Vert ^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass in der Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von
Cauchy-Schwarz
genau dann die Gleichheit gilt, wenn
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.}
a) Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b) Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v-w} \Vert^2 + { \mathrm i} \Vert {v+ { \mathrm i}w} \Vert^2 - { \mathrm i} \Vert {v- { \mathrm i} w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man $V$ als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
auf dem
\mathl{{\mathbb K}^n}{} eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Summennorm}{}{}
auf dem
\mathl{{\mathbb K}^n}{} eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den Vektor
\mathdisp {\begin{pmatrix} -6 \\10\\ 7 \end{pmatrix} \in \R^3} { }
den zugehörigen normierten Vektor bezüglich der
\definitionsverweis {euklidischen Norm}{}{,}
der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
und der
\definitionsverweis {Summennorm}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Norm
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert
}
{ \defeq }{ \operatorname{max} \{ \betrag { x_i }:1 \leq i \leq n \} }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
auf dem $\R^n$ kein Skalarprodukt $\left\langle - , - \right\rangle$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert
}
{ = }{ \sqrt{ \left\langle x , x \right\rangle }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {normierter Vektorraum}{}{} über ${\mathbb C}$. Zeige, dass $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, mit der gleichen Norm ebenfalls ein normierter Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(u,v)
}
{ \defeq} { \Vert {u-v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {P=\left( \frac{3}{4} , \, -1 \right)} {und} {Q= \left( 2 , \, \frac{1}{5} \right)} {} zwei Punkte im $\R^2$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $A$ eine nichtleere Menge,
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mathl{M=A^n}{} das $n$-fache Produkt der Menge mit sich selbst.
a) Zeige, dass auf $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,y)
}
{ =} {d((x_1 , \ldots , x_n ),(y_1 , \ldots , y_n))
}
{ \defeq} { { \# \left( { \left\{ i \mid x_i \neq y_i \right\} } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{}
definiert wird.
b) Bestimme zu $A=\{a,b,c\}$ und $n=4$ den Abstand
\mathl{d((a,a,b,c),(c,a,b,a))}{.}
c) Liste für $A=\{a,b,c\}$ und $n=3$ alle Elemente aus der offenen Kugel
\mathl{U { \left( (a,a,b),2 \right) }}{} auf.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die Menge aller
\zusatzklammer {Personen} {} {-}Bahnhöfe in Deutschland. Zu
\mathl{a,b \in M}{} sei
\mathdisp {d(a,b)} { }
die
\zusatzklammer {zeitlich} {} {}
kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von $a$ nach $b$. Handelt es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Achsenkreuz, also die Vereinigung von $x$-Achse und $y$-Achse.
\aufzaehlungdrei{Definiere auf $A$ den Abstand, der durch die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten
\mathl{P,Q\in A}{} durch einen Weg auf $A$ gegeben ist.
}{Zeige, dass es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{}
handelt.
}{Gibt es eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
auf dem $\R^2$ derart, dass die Einschränkung der zugehörigen Metrik mit unserer Verbindungsmetrik übereinstimmt?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über $V$. Zeige, dass $E$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(P,Q)
}
{ \defeq} { \Vert { \overrightarrow{ P Q } } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
wird.
}
{} {}
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {T} {{\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Supremum}{}
\zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {}
von $f$. Es ist eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
oder $\infty$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {komplexwertigen}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
auf $T$. Zeige, dass $M$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {komplexwertigen}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
auf $T$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungvier{
\mathl{\Vert {f} \Vert \geq 0}{} für alle $f \in M$.
}{
\mathl{\Vert {f} \Vert = 0}{} genau dann, wenn
\mathl{f=0}{} ist.
}{Für
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} und
\mathl{f \in M}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert
}
{ =} {\betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathl{g,f \in M}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
von $T$ nach $E$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
auf $M$ eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge, $E$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
von $T$ nach $E$. Zeige, dass eine Folge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} aus $M$ genau dann gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,}
wenn diese Folge im durch die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[0,1]} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{2x^3-x+3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{-5x^2+4x-7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathdisp {\left\langle f , g \right\rangle , \, \Vert {f} \Vert , \, \Vert {g} \Vert} { }
im Sinne von
Beispiel 31.6.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Bestätige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {x+y} \Vert^2-\Vert {x-y} \Vert^2
}
{ =} { 4 \left\langle x , y \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{V= \operatorname{Mat}_{ n \times n } (\R)}{.} Zeige, dass $V$ versehen mit der Abbildung
\maabbeledisp {\left\langle - , - \right\rangle} {V \times V} {\R
} {(A,B)} { \operatorname{Spur} { \left( B^tA \right) }
} {}
ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien $n$ Punkte
\mathl{P_1,P_2 , \ldots , P_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mathl{B={ \left\{ P\in \R^2 \mid d(P,0) \leq 1 \right\} }}{,} gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mathl{Q \in B}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\sum_{i =1}^n d(P_i,Q) \geq n} { }
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {\Vert {v} \Vert \leq 1} {und} {\Vert {w} \Vert = 1} {.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v+aw} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
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