Zum Inhalt springen

Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 31

Aus Wikiversity



Übungsaufgaben

Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem in der Tat ein Skalarprodukt ist.



Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.



Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.



Es sei eine Bilinearform auf dem mit den Werten , , und . Berechne . Handelt es sich um ein Skalarprodukt?



Es seien

mit und . Berechne im Sinne von Beispiel 31.6.



Es sei ein abgeschlossenes reelles Intervall mit und sei . Zu und sei

Welche Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt , welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen und dem Skalarprodukt aus Beispiel 31.6?



Es seien und reelle Vektorräume mit Skalarprodukten. Zeige, dass auf dem Produktraum durch

ein Skalarprodukt definiert ist.



Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.



Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.



Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

a) Zeige, dass bei die Beziehung

gilt.


b) Zeige, dass bei die Beziehung



Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass die Norm zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.



Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem eine Norm ist.



Zeige, dass die Summennorm auf dem eine Norm ist.



Bestimme für den Vektor

den zugehörigen normierten Vektor bezüglich der euklidischen Norm, der Maximumsnorm und der Summennorm.



Es sei . Zeige, dass für die Norm auf dem kein Skalarprodukt mit der Eigenschaft existiert.



Es sei ein normierter Vektorraum über . Zeige, dass , aufgefasst als reeller Vektorraum, mit der gleichen Norm ebenfalls ein normierter Vektorraum ist.



Zeige, dass ein normierter - Vektorraum durch

zu einem metrischen Raum wird.



Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.



Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.



Es sei die Menge aller (Personen)-Bahnhöfe in Deutschland. Zu sei

die (zeitlich) kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von nach . Handelt es sich dabei um eine Metrik?



Es sei das Achsenkreuz, also die Vereinigung von -Achse und -Achse.

  1. Definiere auf den Abstand, der durch die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten durch einen Weg auf gegeben ist.
  2. Zeige, dass es sich dabei um eine Metrik handelt.
  3. Gibt es eine Norm auf dem derart, dass die Einschränkung der zugehörigen Metrik mit unserer Verbindungsmetrik übereinstimmt?



Es sei ein normierter - Vektorraum und ein affiner Raum über . Zeige, dass durch

zu einem metrischen Raum wird.


Es sei eine Menge und

eine Funktion. Dann nennt man

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .



Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass ein komplexer Vektorraum ist.



Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass die Supremumsnorm auf folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. für alle .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt



Es sei eine Menge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei

die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass die Supremumsnorm auf eine Norm ist.



Es sei eine Menge, ein euklidischer Vektorraum und

die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass eine Folge aus genau dann gegen gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

mit und . Berechne

im Sinne von Beispiel 31.6.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Bestätige



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Zeige, dass versehen mit der Abbildung

ein euklidischer Vektorraum ist.



Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Punkte in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft

gibt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es seien mit und . Zeige, dass es ein mit gibt.



<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)