Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 31

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem in der Tat ein Skalarprodukt ist.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.


Aufgabe *

Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei eine Bilinearform auf dem mit den Werten , , und . Berechne . Handelt es sich um ein Skalarprodukt?


Aufgabe

Es seien

mit und . Berechne im Sinne von Beispiel 31.6.


Aufgabe

Es sei ein abgeschlossenes reelles Intervall mit und sei . Zu und sei

Welche Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt , welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen und dem Skalarprodukt aus Beispiel 31.6?


Aufgabe

Es seien und reelle Vektorräume mit Skalarprodukten. Zeige, dass auf dem Produktraum durch

ein Skalarprodukt definiert ist.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

a) Zeige, dass bei die Beziehung

gilt.

b) Zeige, dass bei die Beziehung


Aufgabe

Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass die Norm zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.


Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem eine Norm ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Summennorm auf dem eine Norm ist.


Aufgabe

Bestimme für den Vektor

den zugehörigen normierten Vektor bezüglich der euklidischen Norm, der Maximumsnorm und der Summennorm.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass für die Norm auf dem kein Skalarprodukt existiert mit der Eigenschaft .


Aufgabe

Es sei ein normierter Vektorraum über . Zeige, dass , aufgefasst als reeller Vektorraum, mit der gleichen Norm ebenfalls ein normierter Vektorraum ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein normierter -Vektorraum durch

zu einem metrischen Raum wird.


Aufgabe *

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe *

Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.


Aufgabe

Es sei die Menge aller (Personen)-Bahnhöfe in Deutschland. Zu sei

die (zeitlich) kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von nach . Handelt es sich dabei um eine Metrik?


Aufgabe

Es sei das Achsenkreuz, also die Vereinigung von -Achse und -Achse.

  1. Definiere auf den Abstand, der durch die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten durch einen Weg auf gegeben ist.
  2. Zeige, dass es sich dabei um eine Metrik handelt.
  3. Gibt es eine Norm auf dem derart, dass die Einschränkung der zugehörigen Metrik mit unserer Verbindungsmetrik übereinstimmt?


Aufgabe *

Es sei ein normierter -Vektorraum und ein affiner Raum über . Zeige, dass durch

zu einem metrischen Raum wird.


Es sei eine Menge und

eine Funktion. Dann nennt man

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .


Aufgabe

Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass ein komplexer Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass die Supremumsnorm auf folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. für alle .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Aufgabe

Es sei eine Menge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei

die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass die Supremumsnorm auf eine Norm ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge, ein euklidischer Vektorraum und

die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass eine Folge aus genau dann gegen gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

mit und . Berechne

im Sinne von Beispiel 31.6.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Bestätige


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Zeige, dass versehen mit der Abbildung

ein euklidischer Vektorraum ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Punkte in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft

gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien mit und . Zeige, dass es ein mit gibt.



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