Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 35/latex

\setcounter{section}{35}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Streckung}{}{} mit einem Streckungsfaktor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {winkeltreu}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {winkeltreu}{}{} ist, wenn für alle
\mathbed {u,v \in V} {}
{u,v \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle }
{ =} { { \frac{ \Vert {\varphi(u)} \Vert }{ \Vert {u} \Vert } } \cdot { \frac{ \Vert {\varphi(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } } \cdot \left\langle u , v \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {U, V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen gelten. \aufzaehlungdrei{Die Identität \maabbdisp {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V } {} ist \definitionsverweis {winkeltreu}{}{.} }{Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {U} {V } {} und \maabbdisp {\psi} {V} {W } {} ist wieder winkeltreu. }{Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {U} {V } {} ist auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} winkeltreu. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {winkeltreuen Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & a_{12} & \ldots & \ldots & a_{1n} \\ 0 & 1 & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & a_{n-1 n} \\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} { \R^n } {} \definitionsverweis {winkeltreu}{}{} ist. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { E_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} { \R^n } {} genau dann \definitionsverweis {winkeltreu}{}{} ist, wenn
\mathl{\betrag { d_{ii} }}{} konstant und von $0$ verschieden ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe zu jedem
\mathbed {r} {}
{0 \leq r < n} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} vom Rang $r$ an, die \definitionsverweis {orthogonale Vektoren}{}{} auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine \definitionsverweis {winkeltreue Abbildung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass \definitionsverweis {orthogonale}{}{} Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {winkeltreu}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {winkeltreue}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} auf dem \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} $V$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} \maabbdisp {\psi} {V} {V } {} und eine \definitionsverweis {Streckung}{}{} \maabbdisp {\sigma} {V} {V } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \psi \circ \sigma }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Abstand}{}{} zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}}{} und sämtlichen \definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_I }
{ = }{ \langle e_i ,\, i \in I \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \{1,2,3\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\-6 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-7y }
{ =} {8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 7 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-7y +6z }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Ebene im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den minimalen Abstand von
\mathl{(4,1,-5)}{} zu einem Punkt der Ebene $E$, die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2x-7y+3z }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
\mathdisp {G= { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\-5\\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\-3\\ 3 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } \text{ und } H = { \left\{ \begin{pmatrix} -4 \\-4\\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 8 \\6\\ 5 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { }
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Abstand}{}{} der beiden windschiefen Geraden
\mathdisp {G= { \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\4\\ -3 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } \text{ und } H = { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\-6\\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\7\\ 2 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { . }

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben besprechen Abstände zwischen nichtlinearen Objekten.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ der Kreis in $\R^2$ mit dem Mittelpunkt $(3,-4)$ und dem Radius $2$ und $B$ der Kreis in $\R^2$ mit dem Mittelpunkt $(7,2)$ und dem Radius $3$. Bestimme den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ der Kreis in $\R^2$ mit dem Mittelpunkt $(1,-3)$ und dem Radius $2$ und $B$ die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x+5y }
{ =} {30 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Gerade. Bestimme den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Abstand}{}{} zwischen der Hyperbel
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid xy = 1 \right\} }} { }
und dem Achsenkreuz
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid xy = 0 \right\} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$, wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A }
{ = }{ { \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $P$ ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus $M$. Zeige, dass $P$ genau dann ein \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} der Folge ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( A, P \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe benötigt Analysis 1 (Extremabestimmung durch Ableiten).


\inputaufgabe
{}
{

Für welche Punkte
\mathl{(t,t^2)}{} der \definitionsverweis {Standardparabel}{}{} wird der \definitionsverweis {Abstand}{}{} zum Punkt
\mathl{(0,1)}{} minimal?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {winkeltreue}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} auf dem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass es eine reelle Zahl $s$ derart gibt, dass allenfalls
\mathl{s}{} oder $-s$ als \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} von $\varphi$ auftreten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist, wenn für beliebige Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A,B }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(\varphi(A), \varphi(B)) }
{ =} { d(A,B) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\1 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-6x+3y }
{ =} {11 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
\mathdisp {G= { \left\{ \begin{pmatrix} 5 \\3\\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \\-4\\ -1 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } \text{ und } H = { \left\{ \begin{pmatrix} -4 \\9\\ -5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 8 \\2\\ -6 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { }
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne den \definitionsverweis {Abstand}{}{} der beiden windschiefen Geraden
\mathdisp {G= { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\3\\ -2 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } \text{ und } H = { \left\{ \begin{pmatrix} 4 \\-3\\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \\7\\ -4 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien zwei \definitionsverweis {disjunkte}{}{} \definitionsverweis {Kreise}{}{} \mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {} in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_1 }
{ \neq }{ M_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den Radien \mathkor {} {r_1} {und} {r_2} {} gegeben. Zeige, dass der \definitionsverweis {Abstand}{}{} zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen.

}
{} {}