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Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 34

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Übungsaufgaben

Zeige


Es seien von verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu und mit dem Winkel zu und übereinstimmt, wobei positive reelle Zahlen sind.

Die vorstehende Aussage besagt insbesondere, dass der Winkel eine Eigenschaft der durch zwei Vektoren definierten Strahlen (Halbgeraden) ist.

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel

nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch und erzeugten Untervektorraum abhängt.


Es seien von verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige


Welche Winkel gibt es auf einer Geraden?


Es sei

der Einheitskreis. Zeige, dass man auf eine Metrik definieren kann, indem man () als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt ansetzt.


Es sei der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor und dem Vektor im . Bestimme den Grenzwert


Die beiden folgenden Aufgaben wurden schon auf dem Arbeitsblatt 10 gestellt.

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die (bezüglich der Standardbasis) eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Bestimme elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren und bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden.


Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Es sei

  1. Zeige, dass eine Isometrie auf dem und dem definiert.
  2. Bestimme die komplexen Eigenwerte zu .
  3. Bestimme eine Orthonormalbasis von , die aus Eigenvektoren zu besteht.


Eine achsensymmetrische Ellipse wird im durch eine Gleichung der Form

mit beschrieben.

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse im und eine bijektive lineare Abbildung mit , die keine Isometrie ist.


Man gebe ein Beispiel für eine bijektive, stetige Abbildung mit und mit für alle und , die keine Isometrie ist.


Es sei

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ein Eigenvektor zum Eigenwert und ein Eigenvektor zum Eigenwert von ist.


Es sei

die Drehung des Raumes um die -Achse um Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis

aus?


Es sei eine Permutation und

die zugehörige Permutationsmatrix bzw. lineare Abbildung. Zeige, dass eine Isometrie ist. Wann handelt es sich um eine eigentliche Isometrie?


Man bestimme zu jeder Permutation für die zugehörige Permutationsmatrix die Eigengerade.


Zeige, dass die Gruppe der räumlichen Drehungen nicht kommutativ ist.


Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge sind.


Es seien und Untervektorräume im . Finde eine Isometrie mit und mit .


Durch die Matrix

ist eine lineare Abbildung gegeben (). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von .


Der sei mit der Maximumsnorm

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

mit der Eigenschaft

für alle . Eine solche Matrix nennen wir -isometrisch.

  1. Zeige, dass eine -isometrische Matrix invertierbar ist.
  2. Zeige, dass die Menge der -isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
  3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix -isometrisch ist.
  4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die jeweils ein oder ein -Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine -Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ist.
  5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix -isometrisch ist.
  6. Zeige, dass jede -isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien normierte Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Vektor die beiden Vektoren in gleich große Winkel unterteilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass sich jede eigentliche lineare Isometrie des als Verknüpfung von Drehungen um die drei Koordinatenachsen realisieren lässt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass zu mit die Matrix

eine Isometrie des definiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine komplexe - Matrix derart, dass die Spalten eine Orthonormalbasis des bilden und die Determinante gleich ist. Zeige, dass die Gestalt

mit und besitzt.


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Es sei

  1. Zeige, dass eine Isometrie auf dem und dem definiert.
  2. Bestimme die komplexen Eigenwerte zu .
  3. Bestimme eine Orthonormalbasis von , die aus Eigenvektoren zu besteht.



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