Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 35

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Streckung mit einem Streckungsfaktor . Zeige, dass winkeltreu ist.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann winkeltreu ist, wenn für alle , , die Gleichung

gilt.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

  1. Die Identität

    ist winkeltreu.

  2. Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen

    und

    ist wieder winkeltreu.

  3. Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung

    ist auch die Umkehrabbildung winkeltreu.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge aller winkeltreuen Abbildungen

eine Untergruppe von ist.


Aufgabe *

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

winkeltreu ist. Zeige


Aufgabe

Es sei

eine Diagonalmatrix. Zeige, dass die zugehörige lineare Abbildung

genau dann winkeltreu ist, wenn konstant und von verschieden ist.


Aufgabe

Man gebe zu jedem , , eine lineare Abbildung

vom Rang an, die orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine winkeltreue Abbildung ist.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und

eine injektive lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass winkeltreu ist.


Aufgabe

Es sei

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorräumen . Zeige, dass es eine Isometrie

und eine Streckung

mit

gibt.


Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und sämtlichen Untervektorräumen zu .


Aufgabe *

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.


Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch

gegebenen Ebene im .


Aufgabe

Bestimme den minimalen Abstand von zu einem Punkt der Ebene , die durch die Gleichung gegeben ist.


Aufgabe

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden

ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.


Aufgabe

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden


Die folgenden Aufgaben besprechen Abstände zwischen nichtlinearen Objekten.

Aufgabe

Es sei der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius und der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Bestimme den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird.


Aufgabe

Es sei der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius und die durch

gegebene Gerade. Bestimme den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird.


Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen der Hyperbel

und dem Achsenkreuz


Aufgabe

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum , wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei und ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus . Zeige, dass genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn

ist.


Die folgende Aufgabe benötigt Analysis 1 (Extremabestimmung durch Ableiten).

Aufgabe

Für welche Punkte der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt minimal?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass es eine reelle Zahl derart gibt, dass allenfalls oder als Eigenwerte von auftreten.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Isometrie ist, wenn für beliebige Teilmengen die Gleichung

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.


Aufgabe (5 Punkte)

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden

ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien zwei disjunkte Kreise und in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten und den Radien und gegeben. Zeige, dass der Abstand zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen.



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