Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 35

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei $\phi :V\to V$ eine Streckung mit einem Streckungsfaktor  $s\ne 0$.  Zeige, dass $\phi$ winkeltreu ist.

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei

$\phi :V⟶W$

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann winkeltreu ist, wenn für alle $u,v\in V$, $u,v\ne 0$, die Gleichung

$⟨\phi (u),\phi (v)⟩=\frac{\Vert \phi (u)\Vert }{\Vert u\Vert }\cdot \frac{\Vert \phi (v)\Vert }{\Vert v\Vert }\cdot ⟨u,v⟩$

gilt.

Aufgabe

Es seien $U,V$ und $W$ euklidische Vektorräume. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

a) Die Identität

${\mathrm{Id}}_V:V⟶V$

ist winkeltreu.

b) Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen

$\phi :U⟶V$

und

$\psi :V⟶W$

ist wieder winkeltreu.

c) Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung

$\phi :U⟶V$

ist auch die Umkehrabbildung winkeltreu.

Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge aller winkeltreuen Abbildungen

$\phi :V⟶V$

eine Untergruppe von ${\mathrm{GL}}_{}\left(V\right)$ ist.

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_{12}& \dots & \dots & a_{1n}\\ 0& 1& a_{23}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 0& 1& a_{n-1n}\\ 0& \dots & \dots & 0& 1\end{array}\right)$

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

winkeltreu ist. Zeige

$M=E_n.$

Aufgabe

Es sei

$M=\left(\begin{array}{ccccc}{d}_{11}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& d_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& d_{n-1n-1}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& d_{nn}\end{array}\right)$

eine Diagonalmatrix. Zeige, dass die zugehörige lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

genau dann winkeltreu ist, wenn $|d_{ii}|$ konstant und von $0$ verschieden ist.

Aufgabe

Man gebe zu jedem $r$, $0\le r<n$, eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

vom Rang $r$ an, die orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine winkeltreue Abbildung ist.

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

eine injektive lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\phi$ winkeltreu ist.

Aufgabe

Es sei

$\phi :V⟶V$

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorräumen $V$. Zeige, dass es eine Isometrie

$\psi :V⟶V$

und eine Streckung

$\sigma :V⟶V$

mit

$\phi =\psi \circ \sigma$

gibt.

Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt $\left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ und sämtlichen Untervektorräumen  $U_I=⟨e_i,i\in I⟩$  zu  $I\subseteq \{1,2,3\}$. 

Aufgabe *

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt $\left(\begin{array}{c}5\\ -6\end{array}\right)$ und der durch

$3x-7y=8$

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 7\end{array}\right)$ und der durch

$4x-7y+6z=3$

gegebenen Ebene im ${ℝ}^3$.

Aufgabe

Bestimme den minimalen Abstand von $(4,1,-5)$ zu einem Punkt der Ebene $E$, die durch die Gleichung  $2x-7y+3z=0$  gegeben ist.

Aufgabe

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden

$G=\{\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 6\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ 3\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}\text{ und }H=\{\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 5\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}$

ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.

Aufgabe *

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden

$G=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -3\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}\text{ und }H=\{\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 2\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}.$

Die folgenden Aufgaben besprechen Abstände zwischen nichtlinearen Objekten.

Aufgabe

Es sei $A$ der Kreis in ${ℝ}^2$ mit dem Mittelpunkt $(3,-4)$ und dem Radius $2$ und $B$ der Kreis in ${ℝ}^2$ mit dem Mittelpunkt $(7,2)$ und dem Radius $3$. Bestimme den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird.

Aufgabe

Es sei $A$ der Kreis in ${ℝ}^2$ mit dem Mittelpunkt $(1,-3)$ und dem Radius $2$ und $B$ die durch

$6x+5y=30$

gegebene Gerade. Bestimme den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird.

Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen der Hyperbel

$\{(x,y)\mid xy=1\}$

und dem Achsenkreuz

$\{(x,y)\mid xy=0\}.$

Aufgabe

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in einem metrischen Raum $M$, wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei  $A=\{x_n\mid n\in \mathbb{N}\}$  und $P$ ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus $M$. Zeige, dass $P$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn

$d(A,P)=0$

ist.

Die folgende Aufgabe benötigt Analysis 1 (Extremabestimmung durch Ableiten).

Aufgabe

Für welche Punkte $(t,t^2)$ der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt $(0,1)$ minimal?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $\phi :V\to V$ eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum $V$. Zeige, dass es eine reelle Zahl $s$ derart gibt, dass allenfalls $s$ oder $-s$ als Eigenwerte von $\phi$ auftreten.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann eine Isometrie ist, wenn für beliebige Teilmengen  $A,B\subseteq V$  die Gleichung

$d(\phi (A),\phi (B))=d(A,B)$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$ und der durch

$-6x+3y=11$

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

Aufgabe (5 Punkte)

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden

$G=\{\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ -1\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}\text{ und }H=\{\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ -5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ -6\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}$

ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden

$G=\{\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -2\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}\text{ und }H=\{\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -4\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien zwei disjunkte Kreise $K_1$ und $K_2$ in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten  $M_1\ne M_2$  und den Radien $r_1$ und $r_2$ gegeben. Zeige, dass der Abstand zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen.