Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 46/latex

\setcounter{section}{46}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Nebenklassen}{}{} zu den folgenden \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.} \aufzaehlungsechs{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Z,0,+) }
{ \subseteq }{ (\R,0,+) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Q,0,+) }
{ \subseteq }{ (\R,0,+) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\R,0,+) }
{ \subseteq }{ ( {\mathbb C} ,0,+) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Z d ,0,+) }
{ \subseteq }{ (\Z,0,+) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ d }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot) }
{ \subseteq }{ ({\mathbb C} \setminus \{0\} ,1, \cdot) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid z^n = 1 \right\} }, 1, \cdot) }
{ \subseteq }{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} } Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der \definitionsverweis {Index}{}{} endlich?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_4$ mit der \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} $H$, die vom Dreierzyklus
\mathl{a \mapsto b,\, b \mapsto c,\, c \mapsto a}{} erzeugt wird. Bestimme die Links- und die \definitionsverweis {Rechtsnebenklassen}{}{} zu dieser Untergruppe.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Gruppe $G$ der \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über dem Körper $\Z/(3)$ mit $3$ Elementen und die Untergruppe $H$, die aus allen invertierbaren Matrizen mit \definitionsverweis {Determinante}{}{} $1$ besteht. Welche der folgenden Matrizen sind untereinander \definitionsverweis {äquivalent}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $H$} {} {,} welche nicht?
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ,\,} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_1,H_2 }
{ \subseteq }{H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} mit den zugehörigen \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} \mathkor {} {\sim_1} {bzw.} {\sim_2} {.} Zeige, dass die Äquivalenzrelation zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{H_1 \cap H_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $p$. Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine endliche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzt, und dass die Potenzen
\mathdisp {g^0=e_G,\, g^1=g,\, g^2 , \ldots , g^{ \operatorname{ord} \, (g)-1}} { }
alle verschieden sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z/(15)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{S_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} zu einer dreielementigen Menge. Welche Zahlen treten als \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} von Untergruppen und welche als \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} von Elementen auf?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} es sei
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die \definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {invertierbaren Matrizen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } }
{ \subseteq} {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Untergruppe der Matrizen mit \definitionsverweis {Determinante}{}{} $1$. Zeige, dass die Linksnebenklasse \zusatzklammer {und auch die Rechtsnebenklasse} {} {} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit
\mathl{\det M}{} übereinstimmt.

Zeige auf möglichst viele Weisen, dass
\mathl{\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(N)}{} eines \definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \subseteq }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Normalteiler in $G$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Durchschnitt von \definitionsverweis {Normalteilern}{}{}
\mathbed {N_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} in einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ein Normalteiler ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Ist das Bild von $\varphi$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $H$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet das Konzept einer exakten Sequenz.

Es seien $G_0 , \ldots , G_n$ \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und \maabb {f_i} { G_{i-1} } { G_i } {} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} f_{i+1} }
{ = }{ \operatorname{bild} f_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Dann heißt
\mathdisp {G_0 \to G_1 \to \ldots \to G_{n-1} \to G_n} { }
eine \definitionswort {exakte Sequenz von Gruppen}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {G_0 \to G_1 \to \ldots \to G_{n-1} \to G_n} { }
eine \definitionsverweis {exakte Sequenz von Gruppen}{}{,} wobei alle beteiligten Gruppen endlich seien und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_0 }
{ = }{ G_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die triviale Gruppe sei. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i = 0}^n { \# \left( G_i \right) } ^{(-1)^i} }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z/(20)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ n \in \Z \mid \sigma^n(x)=x \right\} }}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\Z$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit
\mathl{\operatorname{ord}_{x} {\sigma}}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (\sigma) }
{ =} { \operatorname{kgV} { \left\{ \operatorname{ord}_{x} {\sigma} \mid x \in M \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein surjektiver \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} $\varphi(N)$ eines \definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Normalteiler in $H$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei in einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {G} {M } {} eine surjektive Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(gh) }
{ = }{\varphi(g) \varphi(h) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $M$ eine Gruppe und $\varphi$ ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe ein Beispiel von drei \definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \subseteq }{ G }
{ \subseteq }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an derart, dass $F$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ und $G$ ein Normalteiler in $H$, aber $F$ kein Normalteiler in $H$ ist.

}
{} {}