Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bringe die Restklassengruppe $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ mit der in Aufgabe 3.7 direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ zu jedem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  Elemente gibt, deren Ordnung gleich $n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe  $F\subseteq (\mathbb{Q},0,+)$  derart gibt, dass die zusammengesetzte Abbildung

$F⟶\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$

ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu  $\{1,-1\}\subset {ℝ}^{\times }$. 

Aufgabe

Finde in der Permutationsgruppe $S_3$ einen Normalteiler  $N\ne 0,S_3$  und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  ein Element mit dem (nach Lemma 44.12) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\phi :\mathbb{Z}⟶G,n⟼g^n.$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von $\phi$ gemäß Satz 47.8.

Aufgabe *

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen  $d\in {\mathbb{N}}_{+}$  übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb{Z}/(d)⟶G$

gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.

Aufgabe

Zeige mithilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.

Aufgabe

Es seien $G,H$ und $F$ Gruppen und seien $\phi :G\to H$ und $\psi :G\to F$ Gruppenhomomorphismen mit $\psi$ surjektiv und mit  $\mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$.  Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus

$\tilde{\phi }:F⟶H.$

Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl  $a\ne 0$  die Restklassengruppen $ℝ/\mathbb{Z}a$ untereinander isomorph sind.

Für die folgende Aufgabe muss man verwenden, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb{Q}\setminus \{0\},\cdot ,1)⟶(\mathbb{Z},+,0),$

der $p\mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf $0$ schickt.

Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe

Es seien $G_1$ und $G_2$ Gruppen und seien  $N_1\subseteq G_1$  und  $N_2\subseteq G_2$  Normalteiler. Zeige, dass $N_1\times N_2$ ein Normalteiler in $G_1\times G_2$ ist und dass eine Isomorphie

$(G_1\times G_2)/(N_1\times N_2)\cong (G_1/N_1)\times (G_2/N_2)$

vorliegt.

Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge  $T\subseteq ℝ$  heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl  $x\in ℝ$  und jedem  $ϵ>0$  Elemente  $t\in T$  mit

$|t-x|<ϵ$

gibt.

Aufgabe

Es sei $H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen $ℝ$. Zeige, dass entweder  $H=\mathbb{Z}a$  mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$ dicht in $ℝ$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\phi :R⟶S$

ein Ideal in $R$ ist.

Aufgabe

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 44.3, dass jede Untergruppe von $\mathbb{Z}$ ein Ideal ist.

Aufgabe

Zeige, dass  $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$  eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe *

Es seien $k$ und $n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $k$ teilt $n$.
2. Es ist  $\mathbb{Z}n\subseteq \mathbb{Z}k$. 
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k).$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k).$

Aufgabe *

Es sei  $n\in \mathbb{N}$  und $\mathbb{Z}/(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass  $a\in \mathbb{Z}$  genau dann eine Einheit modulo $n$ ist, wenn $a$ und $n$ teilerfremd sind.

Aufgabe *

Es sei $n\ge 1$ eine natürliche Zahl und $\mathbb{Z}/(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. $\mathbb{Z}/(n)$ ist ein Körper.
2. $\mathbb{Z}/(n)$ ist ein Integritätsbereich.
3. $n$ ist eine Primzahl.

Aufgabe

Es sei $C$ die Menge aller Cauchy-Folgen in $\mathbb{Q}$.

a) Zeige, dass $C$ mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.

b) Zeige, dass die Teilmenge  $N\subseteq C$,  die aus allen Nullfolgen besteht, ein Ideal ist.

c) Zeige, dass $C/N$ ein Körper ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $G$ und $H$ Gruppen mit der Produktgruppe $G\times H$. Zeige, dass die Gruppe $G\times \{e_H\}$ ein Normalteiler in $G\times H$ ist, und dass die Restklassengruppe $(G\times H)/(G\times \{e_H\})$ kanonisch isomorph zu $H$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine Gruppe $G$ und einen Gruppenhomomorphismus

$\phi :(ℝ,0,+)⟶G$

mit der Eigenschaft gibt, dass  $r\in ℝ$  genau dann rational ist, wenn  $\phi (r)=0$  ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.