Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 47

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bringe die Restklassengruppe mit der in Aufgabe 3.7 direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.


Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe derart gibt, dass

ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu .


Aufgabe

Finde in der Permutationsgruppe einen Normalteiler und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und ein Element mit dem (nach Lemma 44.12) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von gemäß Satz 47.8.


Aufgabe *

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.


Aufgabe

Seien und Gruppen und seien und Gruppenhomomorphismen mit surjektiv und mit . Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus


Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl die Restklassengruppen untereinander isomorph sind.


Für die folgende Aufgabe muss man verwenden, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe

Sei eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

der und alle anderen Primzahlen auf schickt.

Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe

Es seien und Gruppen und seien und Normalteiler. Zeige, dass ein Normalteiler in ist und dass eine Isomorphie

vorliegt.


Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl und jedem Elemente mit

gibt.

Aufgabe

Sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.


Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 44.3, dass jede Untergruppe von ein Ideal ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe *

Es seien und ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. teilt .
  2. Es ist .
  3. Es gibt einen Ringhomomorphismus
  4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus


Aufgabe *

Sei und der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass eine Einheit modulo genau dann ist, wenn und teilerfremd sind.


Aufgabe *

Es sei eine natürliche Zahl und der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein Körper.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist eine Primzahl.


Aufgabe

Es sei die Menge aller Cauchy-Folgen in .

  1. Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.
  2. Zeige, dass die Teilmenge , die aus allen Nullfolgen besteht, ein Ideal ist.
  3. Zeige, dass ein Körper ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Gruppen mit der Produktgruppe . Zeige, dass die Gruppe ein Normalteiler in ist, und dass die Restklassengruppe kanonisch isomorph zu ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine Gruppe und einen Gruppenhomomorphismus

mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann rational ist, wenn ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.



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