Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 52/latex
\setcounter{section}{52}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {offenen Kugeln}{}{}
$U { \left( x,\epsilon \right) }$
\definitionsverweis {offen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kugeln}{}{}
$B \left( x,\epsilon \right)$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass $\{P\}$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Es sei $Y$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass $Y$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {leere Menge}{}{} $\emptyset$ und die Gesamtmenge $M$ sind
\definitionsverweis {offen}{}{.}
}{Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathdisp {\bigcup_{i \in I} U_i} { }
offen.
}{Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch der
\definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} U_i} { }
offen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und $m \in M$. Zeige, dass die konstante Abbildung \maabbeledisp {f} {L} {M } {x} {m } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Identität
\maabbeledisp {} {M} {M
} {x} {x
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge mit der
\definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{.} Zeige, dass die Inklusion $T \subseteq M$
\definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbeledisp {\varphi_w} {V} {V
} {v} {v+w
} {,}
die Verschiebung um den Vektor
\mathl{w \in V}{.} Zeige, dass $\varphi_w$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Es sei $x \in M$ ein Punkt mit $f(x) >0$. Zeige, dass dann auch $f(y) >0$ für alle $y$ aus einer offenen Ballumgebung von $x$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und seien $a < b < c$
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{.} Es seien
\maabbdisp {f} {[a,b]} { M
} {} und
\maabbdisp {g} {[b,c]} {M
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} mit $f(b) = g(b)$. Zeige, dass dann die Abbildung
\maabbdisp {h} {[a,c]} {M
} {} mit
\mathdisp {h(t) = f(t) \text{ für } t \leq b \text{ und } h(t) = g(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Addition}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x+y } {,} und die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x \cdot y } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} { {\mathbb R}^n } { {\mathbb R} } {(x_1 , \ldots , x_n) } {f(x_1 , \ldots , x_n) } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine reelle Quadrik, also eine durch ein reelles Polynom vom Grad zwei gegebene Nullstellenmenge \zusatzklammer {siehe die 43. Vorlesung} {} {}, eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{} des $\R^n$ ist.
}
{Wie sieht das für polynomiale Nullstellengebilde von höherem Grad aus?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $L,M,N$
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und seien
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g: M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Es sei $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{} in $x \in L$ und es sei $g$ stetig in $f(x) \in M$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {,} stetig in $x$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C} } {{\mathbb C} } {z} { \betrag { z } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { {\max { \left( x , y \right) } } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {f(x,y) := \begin{cases} 0 \, , \text{ falls } x \leq 0 \, , \\ 0 \, , \text{ falls } y \leq 0 \, , \\ y/x \, , \text{ falls } x \geq y > 0 \, , \\ x/y \, , \text{ falls } y >x > 0 \, , \end{cases}} { }
definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jeder zur $x$-Achse oder zur $y$-Achse parallelen Geraden
\definitionsverweis {stetig}{}{} ist, dass aber $f$ selbst nicht stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_T(x)
}
{ \defeq} { \inf { \left( d(x,y), \, y \in T \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte,
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabb {} {M } {\R
} {}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$. Zeige, dass die Folge in $M$ genau dann im Sinne der Metrik
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn sie im Sinne der Topologie
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei $X$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X)
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {offene Einheitsintervall}{}{}
\mathl{]0,1[}{} und das
\definitionsverweis {abgeschlossene Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1 ]}{} nicht
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {[0,2 \pi[} { S^1
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t \right)
} {}
zwischen dem halboffenen Intervall
\mathl{[0,2 \pi[}{} und dem Einheitskreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1
}
{ = }{ { \left\{ P \in \R^2 \mid \Vert {P} \Vert = 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist, dass die Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.
}
{} {}
Zu einer beliebigen Menge $M$ kann man durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ \defeq} {\begin{cases} 0, \, & \text{ falls } x = y \, , \\ 1, \, & \text{ falls } x\neq y \, ,\end{cases} \,
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{}
definieren, die die \stichwort {diskrete Metrik} {} heißt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X=\R^n$ mit der \definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{} und $Y=\R^n$ mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {Y} {X } {} die \definitionsverweis {Identität}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $f^{-1}$ aber nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine nichtleere Menge versehen mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {X } {} \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb K} = \R}{} oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mathl{H \subset {\mathbb K}^{n+1}}{} ein $n$-dimensionaler
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,}
der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mathl{U \subseteq H}{} eine in
\mathl{H \cong {\mathbb K}^n}{} offene Menge
\zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {}
und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $V \subseteq \R^n$ ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im \definitionsverweis {euklidischen Raum}{}{} $\R^n$. Zeige, dass $V$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} im $\R^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} \maabbeledisp {} {V} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^m } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} und additiv, d.h. es gelte $\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y)$ für alle $x,y \in \R^n$. Zeige, dass $\varphi$ dann $\R$-\definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Im Nullpunkt $0 \in \R^3$ befinde sich die Pupille eines Auges \zusatzklammer {oder eine Linse} {} {} und die durch $x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut $N \cong \R^2$ \zusatzklammer {oder eine Fotoplatte} {} {.} Bestimme die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\R_+ \times \R \times \R} { \R^2 } {,} die das Sehen \zusatzklammer {oder Fotografieren} {} {} beschreibt \zusatzklammer {d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet} {} {.} Ist diese Abbildung \definitionsverweis {stetig}{}{,} ist sie \definitionsverweis {linear}{}{?}
}
{} {}
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