Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 52/latex

\setcounter{section}{52}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {offenen Kugeln}{}{} $U { \left( x,\epsilon \right) }$ \definitionsverweis {offen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {abgeschlossenen Kugeln}{}{} $B \left( x,\epsilon \right)$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass $\{P\}$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, die die \definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{} trage. Es sei $Y$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass $Y$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $X$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten. \aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {leere Menge}{}{} $\emptyset$ und die Gesamtmenge $M$ sind \definitionsverweis {offen}{}{.} }{Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathdisp {\bigcup_{i \in I} U_i} { }
offen. }{Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch der \definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} U_i} { }
offen. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die konstante Abbildung \maabbeledisp {f} {L} {M } {x} {m } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Identität \maabbeledisp {} {M} {M } {x} {x } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge mit der \definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{.} Zeige, dass die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {normierter}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbeledisp {\varphi_w} {V} {V } {v} {v+w } {,} die Verschiebung um den Vektor
\mathl{w \in V}{.} Zeige, dass $\varphi_w$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(y) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $y$ aus einer offenen Ballumgebung von $x$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ < }{ b }
{ < }{ c }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{.} Es seien \maabbdisp {f} { [a,b] } { M } {} und \maabbdisp {g} {[b,c]} {M } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(b) }
{ = }{ g(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann die Abbildung \maabbdisp {h} {[a,c]} {M } {} mit
\mathdisp {h(t) = f(t) \text{ für } t \leq b \text{ und } h(t) = g(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Addition}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x+y } {,} und die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x \cdot y } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} { {\mathbb R}^n } { {\mathbb R} } {(x_1 , \ldots , x_n) } {f(x_1 , \ldots , x_n) } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine reelle Quadrik, also eine durch ein reelles Polynom vom Grad zwei gegebene Nullstellenmenge \zusatzklammer {siehe die 43. Vorlesung} {} {}, eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{} des $\R^n$ ist.

}
{Wie sieht das für polynomiale Nullstellengebilde von höherem Grad aus?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $L,M,N$ \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und seien
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g: M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Es sei $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} in $x \in L$ und es sei $g$ stetig in $f(x) \in M$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {,} stetig in $x$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C} } {{\mathbb C} } {z} { \betrag { z } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { {\max { \left( x , y \right) } } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} { \R^2 } { \R } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ \defeq} { \begin{cases} 0 \, , \text{ falls } x \leq 0 \, , \\ 0 \, , \text{ falls } y \leq 0 \, , \\ y/x \, , \text{ falls } x \geq y > 0 \, , \\ x/y \, , \text{ falls } y >x > 0 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jeder zur $x$-Achse oder zur $y$-Achse parallelen Geraden \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, dass aber $f$ selbst nicht stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_T(x) }
{ \defeq} { \inf { \left( d(x,y), \, y \in T \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine wohldefinierte, \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabb {} {M } {\R } {} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $M$. Zeige, dass die Folge in $M$ genau dann im Sinne der Metrik \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn sie im Sinne der Topologie \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X) }
{ \subseteq }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ebenfalls kompakt ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {offene Einheitsintervall}{}{}
\mathl{]0,1[}{} und das \definitionsverweis {abgeschlossene Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1 ]}{} nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {[0,2 \pi[} { S^1 } {t} { \left( \cos t , \, \sin t \right) } {} zwischen dem halboffenen Intervall
\mathl{[0,2 \pi[}{} und dem Einheitskreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1 }
{ = }{ { \left\{ P \in \R^2 \mid \Vert {P} \Vert = 1 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} und \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist, dass die Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.

}
{} {}

Zu einer beliebigen Menge $M$ kann man durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x,y) }
{ \defeq} {\begin{cases} 0, \, & \text{ falls } x = y \, , \\ 1, \, & \text{ falls } x\neq y \, ,\end{cases} \, }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} definieren, die die \stichwort {diskrete Metrik} {} heißt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {Y} {X } {} die \definitionsverweis {Identität}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $f^{-1}$ aber nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine nichtleere Menge versehen mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {X } {} \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subset }{ {\mathbb K}^{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $n$-dimensionaler \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,} der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \cong }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offene Menge \zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {} und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im \definitionsverweis {euklidischen Raum}{}{} $\R^n$. Zeige, dass $V$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} im $\R^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} \maabbeledisp {} {V} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^m } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} und additiv, d.h. es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x+y) }
{ = }{ \varphi(x) + \varphi(y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ dann $\R$-\definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Im Nullpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} befinde sich die Pupille eines Auges \zusatzklammer {oder eine Linse} {} {} und die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bestimmte Ebene sei die Netzhaut
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \cong }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {oder eine Fotoplatte} {} {.} Bestimme die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \R_+ \times \R \times \R } { \R^2 } {,} die das Sehen \zusatzklammer {oder Fotografieren} {} {} beschreibt \zusatzklammer {d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet} {} {.} Ist diese Abbildung \definitionsverweis {stetig}{}{,} ist sie \definitionsverweis {linear}{}{?}

}
{} {}